特定数列求和法—错位相减法在高中所学的数列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、数学归纳法、裂项相消法、错位相减法等等，在此处我们就只着重讲解一种特定数列求和的方法——错位相减法。
那到底什么是错位相减法呢？现在咱们来回忆当初学习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的，下面是推导过程：数列{}n a 是由第一项为1a ，且公比为q 的等比数列，它的前n 项和是111121...n n a a q a q a q s -=++++ ，求n s 的通项公式。
解 由已知有111121...n n a a q a q a q s -=++++， ○1 两端同乘以q ，有○1-○2得 当1q =时，由○1可得 当1q ≠时，由○3可得 于是 1(1)n s na q == 或者 11(1)1n n a a q s q q-=≠-通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简化了，从而得到等比数列的求和公式，这种方法叫错位相减法，那我们是不是遇到复杂的运算就都可以用这种方法呢？答案当然不是，我们仔细观察这推导过程，就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的复杂数列的。
可以归纳数学模型如下：已知数列{}n a 是以1a 为首项，d 为公差的等差数列，数列{}n b 是以1b 为首项，(1)q q ≠为公比的等比数列，数列n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和.解 由已知可知 两端同乘以q 可得=11223311...n n n n n qc a b q a b q a b q a b q a b q--=+++++1223341...n n n n a b a b a b a b a b q -+++++ ○2 由○1-○2得 化简得 11231(...)(1)1n n n n n a b d b b b b a b qc q q-+++++-=≠-许许多多的高考试题以及课后习题证明了不是所有的数列题目都会很直接地写明所求数列是一个等比数列乘以一个等差数列的形式，通过对最近几年高考中的数列题的分析总结出了以下几种错位相减法求和类型： 所求数列中的等差数列是已知这第一种类型的题顾名思义是所求的复杂数列中直接给出其中一个是等差数列，则只要证明或者求出另一个是等比数列，那么就可以用错位相减法来求解该题，同时如果另一个不能被证明是等比数列就不能用错位相减法来求解，得另找他法了.例1.（2013湖南文）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知：*1110,2,n n a a a S S n N ≠-=⋅∈.（1）求1a ，并求数列{}n a 的通项公式 （2）求数列{}n na 的前n 项和.分析：在本题中第二问要求的是数列{}n na 的前n 项和，其中的a n 我们不能直接知道是什么数列，n 可以由做题经验看出是公差为1的等差数列，所以在本题中要先求出n a ，证明是等比数列以后，则才可以用错位相减法求解n b .解 (1)令1n =得 211a a = 因为 10a ≠ 所以 11a = 令2n =,得22222112a S a a -==+∴=，当2n ≥时,由21n n a s -=， 112n n a s --=,两式相减得122n n n a a a --=,即12nn a a -=. 故数列{}n a 是由首项为1,公比为2的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.(2)由(1)知,12n n na n -=⋅.记数列{}n na 的前n 项和为n B .于是 21122322n n B n -=+⨯+⨯++⨯ , ① 2212222n n B n =⨯+⨯++⨯ , ②②-①得 212(1222)1(1)2n n n n B n n -=⨯-++++=+-⋅.例2．（2010新课标卷理）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=⋅.（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 解 （1）由已知，当1n ≥时， 所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=.（2）由212n n n b na n -==⋅知35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ， ①从而23572121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅， ②①-②得2352121(12)22222n n n S n -+-⋅=++++-⋅，即211[(31)22]9n n S n +=-+.评析：在上述两个例题中的第一问中都是先求出了n a 是等比数列，所以此时的n na 就是一个等比数列乘以一个等差数列而成的复杂数列，符合模型要求，最后才可以用错位相减法快速地求出n na 的前n 项和.所求数列中的等比数列是已知这种类型的题与第一种类型题相反，就是在所求的复杂数列中直接写明其中一个是等比数列，只要求出或者证明另一个是等差数列，则我们就可以用错位相减法来求解该题，如果另一个不是等差数列则我们就不能用错位相减法来求解，下面我们又来看看这类题型的应用。
例3.（2013辽宁理17）已知等差数列{}n a 满足02=a ，1086-=+a a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和. 分析：在本题中最终要求的是数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和，其中的n a 不能直接知道是什么数列，要通过已知求解，112n -我们可以由做题经验看出是以公比为12的等比数列，故在本题中我们要先求出n a ，证明它是等差数列以后，则才可以用错位相减法求出数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和. 解（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，从已知条件可知道：⎩⎨⎧-=+=+10122011d a d a ， 解得⎩⎨⎧-==111d a 故数列{}n a 的通项公式为n a n -=2（2）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和为n S ， 即 12321222-++++=n n n a a a a S ○1 故11=S ，所以当1>n 时，n nn n n a a a a S 2222211221++++=-- ○2○1-○2有：nn n n n n a a a aa a a a S 2222211223121--++-+-+=-- ，又11-=--n n a a 所以 故 12-=n n n S .例4.（2012江西理16）已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－12n 2＋kn (k ∈N *)，并且S n 的最大值为8. (1)确定常数k ，并求a n ； (2)求数列92{2nna -}的前n 项和T n . 分析：在本题第二问中要求的是数列92{2nna -}的前n 项和，其中的n a 不能直接知道是什么数列，要通过已知求解，12n 可以由数学经验看出是公比为12的等比数列，所以在本题中要先求出n a ，证明它是等差数列后，才可以用错位相减法求出数列92{2nna -}的前n 项和。
解（1）根据题目可知，当n ＝k ∈N *时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即 8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2， 故 k 2＝16(k ∈N ＋)， 因此k ＝4，从而a n ＝S n －S n －1＝92－n (n ≥2)．又a 1＝S 1＝72， 所以a n ＝92－n .（等差数列）(2) 设 922nn n a b -=， 将a n 代入n b 得 12n n n b -=T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝22123112222n n n n---++++…+，所以T n ＝2T n －T n＝211121222n n n--++++-….评析：在上述两题中的第一题中先证明了n a 是等差数列，所以此时的⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 就是一个等差数列与一个等比数列的乘积形式，符合模型要求；第二题中，先在第一问求出了n s 的公式，再根据这个公式求出了3ns n是等差数列，所以此时的n b 也是一个等差数列与一个等比数列的乘积形式，符合模型要求，最后我们在这两个题中才借用错位相减法来快速地求出所求数列的前n 项和. 所求数列中的等比数列和等差数列都未知求解这种类型的题的难度就比较大了，因为在所求的复杂数列中不能直接明显地看出它其中包含的等差数列和等比数列，则需要根据题目已知来找出或者证明所求数列是一个等差数列与一个等比数列的乘积，这样才能依据错位相减法来计算结果。
例5. (2013山东.理)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+ （1） 求数列{}n a 的通项公式；求数列{}n c 的前n 项和n R .分析：本题中要求的是数列2()n n c b n N *=∈的前n 项和，其中2n b 不能直接知道是什么数列，在第二问中又知道n b 和n a 有关系，所以在本题的第一问中我们要先求出n a ，再在第二问中将n b 求出，最后当n c 满足错位相减法的条件后我们就可以用错位相减法来求解了.解：（1）由{}4224,21,n n n S S a a a ==+为等差数列，可得11,2a d == 所以 21n a n =-（2）由 12n n na T λ++= ○1 得 111b T λ==- 当2n ≥时，11112n n n a T λ---++=, ○2 ○1-○2可得 122n n n b --=， 所以当0λ=时， 2114n n n n c b --==，211210 (444)n n n R --=++++，○3 2311211 (4444)n n n R -=++++，○4○3-○4得 1431994n n n R --=-⋅， 当0λ≠时，211(1)1(2)4n n n n c b n n λ--=⎧⎪==⎨-≥⎪⎩，即1531994n n n R λ-+=--⋅. 例6.（2009上海青浦区）设数列{}n a 的前n 和为n S ，已知311=S ，3132=S ，3163=S ，3644=S ，一般地，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-++=-)().12(3412)(),12(3412)1(212为偶数时当为奇数时当n n n n S n n n （*N n ∈）．（1）求4a ； （2）求n a 2；（3）求和：n n a a a a a a a a 212654321-++++ ．分析：本题中要求的是n n a a a a a a a a 212654321-++++ 的和，虽然不能直接看出它是数列，但可以抱着这样的心态来看看，通过第二问中的2n a 来求出那一串的和，也许可以转化为一个等差数列与一个等比数列的乘积形式，那么就可以用错位相减法来求和了. 解 （1）略；（2）当k n 2=时，（*N k ∈）222222(2)4(2)4(21)(21)2123123kk kk k -⎡⎤=+--+-=⎢⎥⎣⎦， 所以 n n a 42=（*N n ∈）． （3） 与（2）同理可求得：)12(3112-=-n a n ，设 n n a a a a a a a a 212654321-++++ =n T ，]4)12(45434[3132n n n T ⨯-++⨯+⨯+= ]4)12(45434[3141432+⨯-++⨯+⨯+=n n n T ，两式相减得 ]4)12()444(24[313132+⨯--++++=-n n n n T ，所以 94)14(2732491211--⨯-⨯-=-+n n n n T ．评析：在上述两题中，都不能直接知道所求的是什么形式的数列，所以只能从题目中找出相关条件，将所求的结论转化成一个等差数列与一个等比数列的乘积形式，使之符合模型要求，这样才能在这两个题中借用错位相减法来快速地求出所求结果。