数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）绝密★启用前内蒙古赤峰市2019年中考试卷数 学一、选择题(每小题给出的四个选项中只有一个是符合题意,请将符合题意的选项序号,在答题卡的对应位置上按要求涂黑,每小题3分,共42分) 1.在4-、0、4这四个数中,最小的数是( ) A .4B .0C. D .4- 2.2013—2018年我国与“一带一路”沿线国家货物贸易总额超过60 000亿元,将60 000用科学记数法表示为( ) A .4610⨯B .50.610⨯C .6610⨯D .36010⨯ 3.下列运算正确的是( )AB .325x x x =C .325()x x =D .623x x x ÷=4.不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球,从袋子中随机摸出3个球,下列事件是必然事件的是( ) A .3个都是黑球B .2个黑球1个白球C .2个白球1个黑球D .至少有1个黑球5.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )A .三棱锥B .圆锥C .三棱柱D .圆柱 6.不等式组1292x x x +⎧⎨-⎩≥＜的解集在数轴上表示正确的是( )ABCD7.如图是九年级某考生做的水滴入一个玻璃容器的示意图(滴水速度保持不变),能正确反映容器中水的高度(h )与时间(t )之间对应关系的大致图象是( )ABCD8.如图,菱形ABCD 周长为20,对角线AC 、BD 相交于点O ,E 是CD 的中点,则OE 的长是( )A .25.B .3C .4D .59.某品牌手机三月份销售400万部,四月份、五月份销售量连续增长,五月份销售量达到900万部,求月平均增长率.设月平均增长率为x ,根据题意列方程为( )A .24001=900x +（）B .400(12)900x +=C .29001=400x -（）D .24001=900x +（）10.如图,AB 是O 的弦,OC AB ⊥交O 于点C ,点D 是O 上一点,30ADC ∠=︒,则BOC ∠的度数为毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）( )A .30︒B .40︒C .50︒D .60︒11.如图,点P 是反比例函数(0)ky k x=≠的图象上任意一点,过点P 作PM x ⊥轴,垂足为M .若POM △的面积等于2,则k 的值等于( ) A .4-B .4C .2-D .2(第11题图)(第12题图)12.如图,D 、E分别是ABC △边AB ,AC 上的点,ADE ACB =∠∠,若2AD =,6AB =,4AC =,则AE 的长是( )A .1B .2C .3D .413.如图,点D 在BC 的延长线上,DE AB ⊥于点E ,交AC 于点F .若35A ∠=︒,15D ∠=︒,则ACB ∠的度数为( )A .65︒B .70︒C .75︒D .85︒14.如图,小聪用一张面积为1的正方形纸片,按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠,使四个顶点重合,展开后沿折痕剪开,把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作,当完成第2 019次操作时,余下纸片的面积为( )A .20192B .201812 C .201912 D .202012二、填空题(请把答案填写在答题卡相应的横线上.每小题3分,共12分) 15.因式分解：3222x x y xy -+= .16.如图是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的统计表和折线统计图.你认为甲、乙两名运动员, 的射击成绩更稳定.(填甲或乙)17.如图,一根竖直的木杆在离地面3.1m 处折断,木杆顶端落在地面上,且与地面成38︒角,则木杆折断之前高度约为 m .(参考数据：sin380.62︒≈,cos380.79︒≈,tan380.78︒≈.)18.二次函数2(0)y ax bx c a ++≠＝的图象如图所示,下列结论：①0b ＞；②0a b c -+=；0③一元二次方程210(0)ax bx c a +++≠=有两个不相等的实数根；④当1x -＜或3x ＞时,0y ＞.上述结论中正确的是 .(填上所有正确结论的序号)数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）三、解答题(在答题卡上解答,答在本试卷上无效,解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.共8题,满分96分)19.先化简,再求值：222111422a a a a a a -+-÷+--+,其中11|1tan60()2a -=-+︒.20.已知：AC 是ABCD 的对角线.(1)用直尺和圆规作出线段AC 的垂直平分线,与AD 相交于点E ,连接CE .(保留作图痕迹,不写作法)；(2)在(1)的条件下,若3AB =,5BC =,求DCE △的周长.21.赤峰市某中学为庆祝“世界读书日”,响应“书香校园”的号召,开展了“阅读伴我成长”的读书活动.为了解学生在此次活动中的读书情况,从全校学生中随机抽取一部分学生进行调查,将收集到的数据整理并绘制成如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图.(1)随机抽取学生共 名,2本所在扇形的圆心角度数是 度,并补全折线统计图；(2)根据调查情况,学校决定在读书数量为1本和4本的学生中任选两名学生进行交流,请用树状图或列表法求这两名学生读书数量均为4本的概率.22.某校开展校园艺术节系列活动,派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品.这种文具袋标价每个10元,请认真阅读结账时老板与小明的对话：(1)结合两人的对话内容,求小明原计划购买文具袋多少个？(2)学校决定,再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品,两次购买奖品总支出不超过400元.其中钢笔标价每支8元,签字笔标价每支6元,经过沟通,这次老板给予8折优惠,那么小明最多可购买钢笔多少支？数学试卷 第7页（共26页） 数学试卷 第8页（共26页）23.如图,AB 为O 的直径,C 、D 是半圆AB 的三等分点,过点C 作AD 延长线的垂线CE ,垂足为E . (1)求证：CE 是O 的切线；(2)若O 的半径为2,求图中阴影部分的面积.24.阅读下面材料：我们知道一次函数y kx b =+(0k ≠,k 、b 是常数)的图象是一条直线,到高中学习时,直线通常写成0Ax By C ++=(0A ≠,A 、B 、C 是常数)的形式,点00,P x y （）到直线0Ax By C ++=的距离可用公式0d ==计算.例如：求点(3,4)P 到直线25y x =-+的距离. 解：25y x =-+250x y ∴+-=,其中2A =,1B =,5C =-,∴点3,4P （）到直线25y x =-+的距离为：d ∴====根据以上材料解答下列问题：(1)求点(2,2)Q -到直线370x y -+=的距离；(2)如图,直线y x =-沿y 轴向上平移2个单位得到另一条直线,求这两条平行直线之间的距离.25.如图,直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点,抛物线2y x bx c =-++经过点B 、C ,与x 轴另一交点为A ,顶点为D . (1)求抛物线的解析式；(2)在x 轴上找一点E ,使EC ED +的值最小,求EC ED +的最小值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ,使得APBOCB ∠∠＝？若存在,求出P 点坐标；若不存在,请说明理由.26.【问题】如图1,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,AC BC =,过点C 作直线l 平行于AB .90EDF ∠=︒,点D 在直线l 上移动,角的一边DE 始终经过点D ,另一边DF 与交于点P ,研究DP 和DB 的数量关系.【探究发现】(1)如图2,某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想,发现当点D 移动到使点P 与点C 重合时,通过推理就可以得到DP DB =,请写出证明过程； 【数学思考】(2)如图3,若点P 是AC 上的任意一点(不含端点A 、C ),受(1)的启发,这个小组过点D 作DG CD ⊥交BC 于点G ,就可以证明DP DB =,请完成证明过程；【拓展引申】(3)如图4,在(1)的条件下,M 是AB 边上任意一点(不含端点A 、B ),N 是射线BD 上一点,且AM BN =,连接MN 与BC 交于点Q ,这个数学兴趣小组经过多次AC 取M 点反复进行实验,发现点M 在某一位置时BQ 的值最大.若4AC BC ==,请你直接写出BQ的最大值.数学试卷第9页（共26页）数学试卷第10页（共26页）数学试卷 第11页（共26页） 数学试卷 第12页（共26页）内蒙古赤峰市2019年中考试卷数学答案解析2.【答案】A【解析】解：460000610=⨯, 故选：A . 3.【答案】B【解析】解：A ,故此选项错误； B 、325xx x ＝,正确；C 、326()x x ＝,故此选项错误； D 、624x x x ÷=,故此选项错误； 故选B . 4.【答案】D【解析】解：A 、袋子中装有4个黑球和2个白球,摸出的三个球中可能为两个白球一个黑球,所以A 不是必然事件；B 、C 、袋子中有4个黑球,有可能摸到的全部是黑球,B 、C 有可能不发生,所以B 、C 不是必然事件；D 、白球只有两个,如果摸到三个球不可能都是白梂,因此至少有一个是黑球,D 正确. 故选D . 5.【答案】B【解析】解：由于主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体,由俯视图为圆形可得为圆锥. 故选B . 6.【答案】C【解析】解：1292x x x +⎧⎨-⎩①②≥＜解不等式①得：1x ≥, 解不等式②得：3x ＞,∴不等式组的解集为3x ＞, 在数轴上表示为：,故选C . 7.【答案】D【解析】解：由于容器的形状是下宽上窄,所以水的深度上升是先慢后快. 表现出的函数图形为先缓,后陡. 故选：D . 8.【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD 为菱形,∴2054CD BC ===,且O 为BD 的中点,∵E 为CD 的中点, ∴OE 为BCD △的中位线,∴12.52OE CB ==,故选：A . 9.【答案】D【解析】解：设月平均增长率为x , 根据题意得：2400(1)900x +=. 故选D . 10.【答案】D【解析】解：如图,∵30ADC ∠=︒, ∴260AOC ADC ∠=∠=︒.∵AB 是O 的弦,OC AB ⊥交O 于点C , ∴AC BC =.∴60AOC BOC ∠=∠=︒, 故选：D .数学试卷 第13页（共26页） 数学试卷 第14页（共26页）11.【答案】A【解析】解：∵POM △的面积等于2, ∴1||22k =, 而0k ＜, ∴4k =-. 故选A . 12.【答案】C【解析】解：∵ADE ACB ∠=∠,A A ∠=∠, ∴ADE ACB △∽△, ∴AD AE AC AB =,即246AE=, 解得,3AE =, 故选：C . 13.【答案】B【解析】解：∵DE AB ⊥,35A ∠=︒, ∴55AFE CFD ∠=∠=︒,∴155570ACB D CFD ∠=∠+∠=︒+︒=︒ 故选：B . 14.【答案】C【解析】解：正方形纸片四角向内折叠,使四个顶点重合,展开后沿折痕剪开,第一次：余下面积11S 2=,第二次：余下面积221S 2=,第三次：余下面积331S 2=,当完成第2 019次操作时,余下纸片的面积为201920191S 2=,故选：C . 二.填空题15.【答案】2(y)x x -【解析】解：原式222(2)(y)x x xy y x x =-+=-, 故答案为：2(y)x x -. 16.【答案】乙【解析】解：由统计表可知,甲和乙的平均数、中位数和众数都相等, 由折线统计图可知,乙的波动小,成绩比较稳定, 故答案为：乙. 17.【答案】8.1【解析】解：如图： 3.1m AC =,38B ∠︒＝,∴ 3.15sin 0.62AC AB B ===,∴木杆折断之前高度 3.158.1(m)AC AB =+=+=. 故答案为：8.1.18.【答案】②③④【解析】解：由图可知,对称轴1x =,与x 轴的一个交点为(3,0), ∴2b a =-,与x 轴另一个交点(1,0)-, ①∵0a ＞, ∴0b ＜； ∴①错误；数学试卷 第15页（共26页） 数学试卷 第16页（共26页）②当1x =-时,0y =, ∴10a b -+=； ②正确；③一元二次方程210ax bx c +++=可以看作函数2y ax bx c =++与1y =-的交点, 由图象可知函数2y ax bx c =++与1y =-有两个不同的交点, ∴一元二次方程210(0)ax bx c a +++=≠有两个不相等的实数根； ∴③正确；④由图象可知,0y ＞时,1x -＜或3x ＞, ∴④正确； 故答案为②③④. 三、解答题19.【答案】解：222111422a a a a a a -+-÷+--+ 2(1)21=(2)(2)12a a a a a a --++--+ 11=22a a a -+++=2aa + 当11|1tan60()12=12a -=-+︒时,原式11==123+.【解析】解：222111422a a a a a a -+-÷+--+ 2(1)21=(2)(2)12a a a a a a --++--+ 11=22a a a -+++=2aa + 当11|1tan60()12=12a -=-+︒时,原式11==123+.20.【答案】解：(1)如图,CE 为所作：(2)∵四边形ABCD 为平行四边形, ∴5AD BC ==,3CD AB ==, ∵点E 在线段AC 的垂直平分线上, ∴EA EC =,∴DCE △的周长538CE DE CD EA DE CD AD CD =++=++=+=+=. 【解析】解：(1)如图,CE 为所作：(2)∵四边形ABCD 为平行四边形, ∴5AD BC ==,3CD AB ==, ∵点E 在线段AC 的垂直平分线上, ∴EA EC =,∴DCE △的周长538CE DE CD EA DE CD AD CD =++=++=+=+=. 21.【答案】(1)50216(2)画树状图为：(用1、4分别表示读书数量为1本和4本的学生)共有12种等可能的结果数,其中这两名学生读书数量均为4本的结果数为4, 所以这两名学生读书数量均为4本的概率41123==. 【解析】解：(1)1632%50÷=,数学试卷 第17页（共26页） 数学试卷 第18页（共26页）所以随机抽取学生共50名, 2本所在扇形的圆心角度数3036021650=︒⨯=︒； 4本的人数为50216302---=(人), 补全折线统计图为：故答案为50,216︒.(2)画树状图为：(用1、4分别表示读书数量为1本和4本的学生)共有12种等可能的结果数,其中这两名学生读书数量均为4本的结果数为4,所以这两名学生读书数量均为4本的概率41123==.22.【答案】解：(1)设小明原计划购买文具袋x 个,则实际购买了(1)x +个, 依题意得：10(1)0.851017x x +⨯=- 解得17x =.答：小明原计划购买文具袋17个.(2)设小明可购买钢笔y 支,则购买签字笔(50)x -支,依题意得： 86(50)80%400[]y y +-⨯≤. 解得100y ≤. 即100y =最大值.答：小明最多可购买钢笔100支.【解析】解：(1)设小明原计划购买文具袋x 个,则实际购买了(1)x +个, 依题意得：10(1)0.851017x x +⨯=-解得17x =.答：小明原计划购买文具袋17个.(2)设小明可购买钢笔y 支,则购买签字笔(50)x -支,依题意得：86(50)80%400[]y y +-⨯≤. 解得100y ≤. 即100y =最大值.答：小明最多可购买钢笔100支.23.【答案】(1)证明：∵C 、D 是半圆O 的三等分点, ∴AD CD BC ==,∴BOC A ∠∠＝, ∴OC AD ∥, ∵CE AD ⊥, ∴CE OC ⊥,∴CE 为O 的切线； (2)解：连接OD ,OC , ∵AD CD BC ==,∴1180603COD ∠⨯︒︒＝＝,∵CD AB ∥, ∴ACD COD S S △△＝,∴图中阴影部分的面积260π22π3603CODS ⨯==扇形. 【解析】(1)证明：∵C 、D 是半圆O 的三等分点, ∴AD CD BC ==, ∴BOC A ∠∠＝, ∴OC AD ∥, ∵CE AD ⊥, ∴CE OC ⊥, ∴CE 为O 的切线；数学试卷 第19页（共26页） 数学试卷 第20页（共26页）(2)解：连接OD ,OC , ∵AD CD BC ==,∴1180603COD ∠⨯︒︒＝＝,∵CD AB ∥, ∴ACD COD S S △△＝,∴图中阴影部分的面积260π22π3603CODS ⨯==扇形. 24.【答案】(1)证明：∵370x y -+=, ∴3A =,1B =-,7C =, ∵点(2,2)Q -,∴d ===, ∴点(2,2)Q -到直线370x y -+=的距离为10. (2)直线y x =-沿y 轴向上平移2个单位得到另一条直线为2y x =-+, 在直线y x =-上任意取一点P, 当0x =时,0y =.∴(0,0)P . ∵直线2y x =-+, ∴1A =,2B =,2C =-,∴d =【解析】(1)证明：∵370x y -+=, ∴3A =,1B =-,7C =, ∵点(2,2)Q -,∴d ===, ∴点(2,2)Q -到直线370x y -+=.(2)直线y x =-沿y 轴向上平移2个单位得到另一条直线为2y x =-+, 在直线y x =-上任意取一点P, 当0x =时,0y =. ∴(0,0)P . ∵直线2y x =-+,∴1A =,2B =,2C =-,∴d ==.25.【答案】解：(1)直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点,则点B 、C 的坐标分别为(3,0)、(0,3),将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：9303b c c -++=⎧⎨=⎩,解得：23b c =⎧⎨=⎩,故函数的表达式为：223y x x =-++, 令0y =,则1x =-或3,故点(1,0)A -；(2)如图1,作点C 关于x 轴的对称点C ',连接CD '交x 轴于点E ,则此时EC ED +为最小,函数顶点坐标为(1,4),点(0,3)C '-,将CD 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：73y x =-, 当0y =时,37x =,数学试卷 第21页（共26页） 数学试卷 第22页（共26页）故点3(,)7E x ；(3)①当点P 在x 轴上方时,如下图2,∵3OB OC ==,则45OCB APB ∠︒∠＝＝, 过点B 作BH AH ⊥,设PH AH m ＝＝,则PB PA ＝,由勾股定理得：222AB AH BH +＝,2()162m m m =+-,解得：2m =(负值已舍去),则1PB ==则P y == ②当点P 在x 轴下方时,则P y =-；故点P的坐标为或.【解析】解：(1)直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点,则点B 、C 的坐标分别为(3,0)、(0,3),将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：9303b c c -++=⎧⎨=⎩,解得：23b c =⎧⎨=⎩,故函数的表达式为：223y x x =-++,令0y =,则1x =-或3,故点(1,0)A -；(2)如图1,作点C 关于x 轴的对称点C ',连接CD '交x 轴于点E ,则此时EC ED +为最小,函数顶点坐标为(1,4),点(0,3)C '-, 将CD 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：73y x =-, 当0y =时,37x =, 故点3(,)7E x ；(3)①当点P 在x 轴上方时,如下图2,∵3OB OC ==,则45OCB APB ∠︒∠＝＝, 过点B 作BH AH ⊥,设PH AH m ＝＝,则PB PA ＝,由勾股定理得：222AB AH BH +＝,226)1m m =+-,解得：m =(负值已舍去),则1PB ==+则P y =数学试卷 第23页（共26页） 数学试卷 第24页（共26页）②当点P 在x 轴下方时,则P y =-；故点P的坐标为或. 26.【答案】证明：【探究发现】 (1)∵90ACB ∠=︒,AC BC =, ∴45CAB CBA ∠=∠=︒, ∵CD AB ∥,∴45CBA DCB ∠=∠=︒,且BD CD ⊥, ∴45DCB DBC ∠=∠=︒, ∴DB DC =, 即DB DP =. 【数学思考】(2)∵DG CD ⊥,45DCB ∠=︒, ∴45DCG DGC ∠=∠=︒,∴DC DG =,135DCP DGB ∠=∠=︒, ∵90BDP CDG ∠=∠=︒∴CDP BDG ∠=∠,且DC DG =,135DCP DGB ∠=∠=︒, ∴()ASA CDP GDB △≌△, ∴BD DP =. 【拓展引申】(3)如图4,过点M 作MH MN ⊥交AC 于点H ,连接CM ,HQ ,∵MH MN ⊥,∴90AMH NMB ∠+∠=︒ ∵CD AB ∥,90CDB ∠=︒ ∴90DBM ∠=︒ ∴90NMB MNB ∠+∠=︒∴HMA MNB ∠=∠,且AM BN =,45CAB CBN ∠=∠=︒ ∴()ASA AMH BNQ △≌△ ∴AH BQ =∵90ACB ∠︒＝,4AC BC ==, ∴4AB =,AC AH BC BQ -=- ∴CH CQ =∴45CHQ CQH CAB ∠=∠=︒=∠ ∴HQ AB ∥ ∴HQM QMB ∠=∠ ∵90ACB HMQ ∠=∠=︒∴点H ,点M ,点Q ,点C 四点共圆, ∴HCM HQM ∠=∠∴HCM QMB ∠=∠,且45A CBA ∠=∠=︒ ∴ACM BMQ △∽△ ∴AC AMBM BQ=AMBQ=∴2BQ =+∴AB =时,BQ 有最大值为2. 【解析】证明：【探究发现】 (1)∵90ACB ∠=︒,AC BC =,∴45CAB CBA ∠=∠=︒, ∵CD AB ∥,数学试卷 第25页（共26页） 数学试卷 第26页（共26页）∴45CBA DCB ∠=∠=︒,且BD CD ⊥, ∴45DCB DBC ∠=∠=︒, ∴DB DC =, 即DB DP =. 【数学思考】(2)∵DG CD ⊥,45DCB ∠=︒, ∴45DCG DGC ∠=∠=︒,∴DC DG =,135DCP DGB ∠=∠=︒, ∵90BDP CDG ∠=∠=︒∴CDP BDG ∠=∠,且DC DG =,135DCP DGB ∠=∠=︒, ∴()ASA CDP GDB △≌△, ∴BD DP =. 【拓展引申】(3)如图4,过点M 作MH MN ⊥交AC 于点H ,连接CM ,HQ ,∵MH MN ⊥,∴90AMH NMB ∠+∠=︒ ∵CD AB ∥,90CDB ∠=︒ ∴90DBM ∠=︒ ∴90NMB MNB ∠+∠=︒∴HMA MNB ∠=∠,且AM BN =,45CAB CBN ∠=∠=︒ ∴()ASA AMH BNQ △≌△ ∴AH BQ =∵90ACB ∠︒＝,4AC BC ==, ∴4AB =,AC AH BC BQ -=- ∴CH CQ =∴45CHQ CQH CAB ∠=∠=︒=∠ ∴HQ AB ∥ ∴HQM QMB ∠=∠ ∵90ACB HMQ ∠=∠=︒∴点H ,点M ,点Q ,点C 四点共圆, ∴HCM HQM ∠=∠∴HCM QMB ∠=∠,且45A CBA ∠=∠=︒ ∴ACM BMQ △∽△ ∴AC AMBM BQ=AMBQ =∴2(24AM BQ --=+∴AB =,BQ 有最大值为2.。