第六章课后习题
6-1 试推导范德瓦尔气体在定温膨胀时所作功的计算式。
解:范德瓦尔气体状态方程可写成,所以
在等温过程中,T=常数,积分上式得:
6-2 3NH 气体的压力10.13P MPa = 、温度633T K = ,试根据通用压缩因子图求其压缩因子和密度,并于由理想气体状态方程计算的密度加以比较。
解:由附录表查得3NH 临界参数
查通用压缩因子图得:Z=0.94。
若
按
理
想
气
体
计
算
6-3 一容积为33m m的容器中储有4,113
==-︒的氧气,试求
p MPa t C
容器内氧气的质量;(1)用理想气体状态方程;(2)用压缩因子图。
解(1)按理想气体状态方程
(2)查附录表得氧气
查通用压缩因子图得:Z=0.32。
6-4 容积为3
0.425m的容器内充满氮气,压力为16.21MPa,温度为189K,试计算容积中氮气的质量,利用:(1)理想气体状态方程;(2)范德瓦尔方程;(3)通用压缩因子图;(4)R-K方程。
解:(1)利用理想气体状态方程
(2)利用范德瓦尔方程查表6-1,氮气的范德瓦尔常数将a,b 值代入范德瓦尔方程:
得
展开可解得
(3)利用通用压缩因子图。
氮气的临界参数为查通用压缩因子图Z=0.84。
(4)利用R-K 方程
用临界参数求取R-K 方程中常数a 和b
将a,b 值代入R-K 方程:
迭代后解得
(本例中,因范氏方程常数采用实验数据拟合值,故计算 O2质量误差较小。
)
6-5 试用下述方法求压力为5MPa 、温度为450℃的水蒸气的比体积;(1)理想气体状态方程;(2)压缩因子图。
已知此状态时水蒸气的比体积是30.063291/m kg ,以此比较上述计算结果的误差。
解:(1)利用理想气体状态方程
(2)利用通用压缩因子图 查附表,水的临界参数为
查通用压缩因子图 Z=0.95
6-6 在一容积为233.010m -⨯ 的球形钢罐中储有0.5kg 的甲烷(4CH ),若甲烷由25C ︒上升到33C ︒ ,试用R-K 方程求其压力变化。
解:摩尔体积
用临界参数求取 R-K 方程中常数 a 和 b :查表 6-1,的临界参
数为:
,。
将 a ,b 值代入 R-K 方程:
所以,。
6-7 迭特里希状态方程为 exp()nRT na
p V nb RTV
=
-- 式中 :V 为体积;p 为压力;n 为物质的量;a 、b 为物性常数。
试说明符合迭特里希状态方程的气体的临界参数分别为
22,2,44cr cr cr
a a
p V nb T n b Rb
=
==,并将此状态方程改写成对比态方程。
解: 对迭特里希状态方程求导
据临界等温线特征,在临界点令得所以有(1)
据临界等温线特征,在临界点有,所以
(2)化简,并将(1)式代入(2)式,得
(3)
将(3)式代入(1)式,得
(4)
将(4)、(3)式代入迭特里希状态方程,得
(5)
由迭特里希状态方程
(6)
将(3)、(4)、(5)式代入(6)
6-8 试证明理想气体的提膨胀系数1
v a T
=。
证:据体积膨胀系数定义: 。
对理想气体的状态方
程
求导
6-9 试证在h-s 图上的定温线的斜率1
T
V h T s a ∂⎛⎫=- ⎪
∂⎝⎭. 证:
6-10 对于状态方程为()g p v b R T -=(其中b 为常数)的气体,试证明:(1)热力学能v du c dT =;(2)焓p dh c dT bdp =+;(3)p v c c -为常数;
(4)其可逆绝热过程的过程方程式为()
-=常数。
p v b
证:(1)据热力学能的一般关系式:
(a)
对求导
即
(2)
所以
(3)据式(6-34)
(4)对取对数后求导
(b)
据因过程可逆绝热,所以ds=0,即
将(b )式代入得
移项整理得
,
取κ 为定值,积分得=常数。
6-11 证明下列等式:
(1) ,p v v p c s c s T T T T
∂∂⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭;
(2)2222,u s h s
T T T v T v T p T p
∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂ 证:(1)取,
据第一 ds 方程式 所以
取
据第二 ds 方程式
(2)由
由
6-12 对于范德瓦尔气体 ,试证: (1)2
;v a
du c T dv v =+ (2)()2
3
21g p v g R c c a v b R Tv -=
--
;
(3)定温过程焓差为()2122111211T h h p v p v a v v ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭
; (4)定温过程熵差为 ()2211ln g T v b
s s R v b
--=-。
证:(1)据 du 第一关系式
由范氏方程
因此,
(2)据式(6-34)
从(1)中得,因求较困难,故利用循环关系式:
(3) 由(1)对等温过程dT=0所以
(4),所以,范德瓦尔气体经历等温过
程
6-13 利用通用焓图求甲烷(
CH)由6.5MPa、70℃定压冷却到-6℃
4
时放出的热量。
已知甲烷在理想气体状态下的摩尔定压热容为
{}
{}*
,/()
18.90.055p m K J molK C T =+。
解:查表 6-1,甲烷
分别按查通用焓图
(图 6-6)
6-14 某理想气体的变化过程中比热容x c 为常数,试证其过程方程为
n pv =常数。
式中: x p x v
c c n c c -=
-,p 为压力。
,p v c c 分别为定压热容和比
定压热容,可取定值。
证:由
对于理想气体;
得
即
因,所以,由题意,
比热容取常数,积分得。
6-15 某一气体的体膨胀系数和等温压缩率分别为 1,v T nR a a k pV
P V
=
=
+ 式中,a 为常数,n 为物质的量,R 为摩尔气体常数。
试求此气体的状态方程。
解:取v = v(T, p) ,则
把,代入(a)式整理得
积分:
确定积分常数。
当 p=0 时气体应服从理想气体方程,上式
中
为高阶无穷小,可略去不计,所以积分常数C = 0,因
此状态方程为。
6-16 气体的提膨胀系数和定容压力温度系数分别为1,v R a a pV
T
==
R 为摩尔气体常数。
试求此气体的状态方程。
解:据循环关系式
积分,
当 p → 0 时气体趋近于理想气体,服从,因此
状态方程为
6-17 水的三相点温度273.16T K =,压力611.2P Pa =,汽化潜热
lg 2501.3/KJ kg γ=。
按饱和蒸汽压方程(6-40)计算210t C =︒ 时的饱和
蒸汽压(假定汽化潜热可近似为常数)。
解:据饱和蒸汽压力方程式 在三相点
10℃时饱和蒸汽压
(蒸汽表提供的 10℃的 p s =1227.9Pa )
6-18 在二氧化碳的三相点上216.55,0.518T K p MPa ==,固态比体积
330.66110/s v m kg -=⨯,液态比体积330.84910/l v m kg -=⨯ ,气态比体积
3372210/g v m kg -=⨯,升华潜热g 542.76/s KJ kg γ=,汽华潜热
lg 347.85/KJ kg γ=。
(1)计算在三相点上升华线、溶解线和汽化线的斜率;(2)按蒸汽压方程(6-40)计算280t C =-︒时的饱和蒸汽压力(查表数据为0.0602MPa )。
解: (1)
据式(6-39a )
汽化线斜率:
熔解线斜率
升华线斜率
(2)三相点时
–80℃时饱和蒸汽压。