a 第六章 实数
【知识要点】
1. 算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a, 即 x 2 = a ,那么这个正
数 x 叫做 a 的算术平方根。

a 的算术平方根记为 ，读作“根号 a”，a 叫做
被开方数。

2. 平方根：如果 x²=a，则 x 叫做a 的平方根，记作“± a ”（a 称为被开方数）。

3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。

4. 平方根和算术平方根的区别与联系：
区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。

联系：（1）被开方数为非负数；
（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。

（3）0 的算术平方根与平方根同为 0。

5. 如果x 3=a ，则x 叫做 a 的立方根，记作“ 3 a ”。

6. 正数有一个正的立方根；0 的立方根是 0；负数有一个负的立方根。

7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

8. 立方根与平方根的区别：
一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和 0 有平方根， 负数没有平方根，正数的平方根有 2 个，并且互为相反数，0 的平方根只有一个且为 0.
9. 一般来说，被开方数扩大（或缩小） n 2 倍，它的算术平方根扩大（或缩小）
n 倍，例如： = 5, = 50 .
10. 一般来说，被开方数扩大（或缩小）n 3 倍，它的立方根扩大（或缩小）n 倍，
1
25 2500
a a a a ⎨-a (a ＜0) 例如：
= 5, 3 125000 = 50 .
11. 平方表：（希望大家背下来）
12=1
62=36 112=121 162=256 212=441 22=4
72=49 122=144 172=289 222=484 32=9
82=64 132=169 182=324 232=529 42=16
92=81 142=196 192=361 242=576 52=25
102=100 152=225 202=400 252=625
【题型规律总结】
1、平方根是其本身的数是 0；算术平方根是其本身的数是 0 和 1；立方根是其本身的数是 0 和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3、双重非负性： 本身为非负数，有非负性，即 ≥0； 有意义的条件是
a ≥0。

4、公式：（1）( )2=a （a ≥0）；
（2） 3 -a = - 3 a （a 取任何数）。

5、区分( )2=a （a ≥0）与 = a = ⎧a (a ≥0) ⎩
6、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于 0，则每一个非负数都为 0（此性质应用很广，务必掌握）。

3 125 a a 2
81 16 16 【典型例题】
1. 下列语句中，正确的是（ D ）
A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数
B ．负数没有立方根
C ．一个实数的立方根不是正数就是负数
D ．立方根是这个数本身的数共有三个
2. 下列说法正确的是（ C ）
A ．-2 是（-2）²的算术平方根
B ．3 是-9 的算术平方根
C ．16 的平方根是±4
D ．27 的立方根是±3
3. 已知实数 x ，y 满足2=0，则 x-y 等于
分析：若几个非负数之和等于 0，则每一个非负数都为 0。

解答：根据题意得，x-2=0，y+1=0，
解得 x=2，y=-1，
所以，x-y=2-（-1）=2+1=3．
4. 求下列各式的值
（1） ± ；（2） - ；（3）
；（4）
解答：（1）因为92 = 81，所以± =±9.
（2）因为42 = 16 ，所以－ = -4 .
（3）因为（35）2= 9 25 所以√9 25=3
5 9 25 (-4)2 81
(-4)2 3 (± 8)2
a 3 a3
⎨
-a(a＜0)
（4）因为42 = (-4)2 ，所以= 4 .
5.计算
（1）64 的立方根是 4
（2）下列说法中：① ± 3 都是 27 的立方根，②=y ，③的立方根是 2，
④=±4 。

其中正确的有（ B ）
A、1 个
B、2 个
C、3 个
D、4 个
解析：②，③正确。

6.易混淆的三个数
（1）解：（1）（2）( a )2 （3）3 a3 = a =
⎧a(a≥0)
⎩
（2）( )2=a（a≥0）
（3）=a 3 y364
a2
a2。