G
0
X (z0 )
R(
z0
)
Kx( z0
)
0
Z0使开环、闭环的输出都为0，零点矩阵的 解与K无关，状态反馈不改变系统的零点
6.3.2 单输入系统的极点配置
• 系统可控，可任意配置n个极点（P182证明）
• 由系统性能要求确定闭环系统期望极点位置，然 后依据期望极点位置确定反馈增益矩阵K。
0
零点的矩阵形式
闭环系统：加入状态反馈： u(k) Kx(k) r(k)
有：
x(k 1) (F GK)x(k) Gr(k)
zI F GK, G X (z)
C,
0
R(
z)
z z0
0
闭环零点矩阵
zI F GK,
C,
0
G
X (z0 )
R(
z0
)
zI
F, C,
1. 系数匹配法
状态反馈闭环系统特征方程
x(k 1) F GK x(k) Gr(k)
det[zI F GK ] 0
闭环系统期望特征根为: 闭环系统期望特征方程：
zi i i 1, 2, , n
(z) (z 1)(z 2 ) (z n ) 0
对应系数相等，得n个代数方程
K [K1, K2 , Kn ]
对应系数相等：
T 2 K1 / 2 TK2 2 1.6
T
2 K1
/
2
TK2
1
0.7
在T=0.1
K=(10,3.5)
最终得： u(k) -(10, 3.5)x(k)
单输入系统的极点配置(续)
2. Ackermann公式
– 建立在可控标准型基础上的一种计算反馈阵K的方法， 对于高阶系统，便于用计算机求解.
K 1 0
0 WC1ac (F)
其中 WC F n1G F n2G
FG G
ac (F ) F n a1F n1 an I
闭环系统期望特征方程：
ac (z) zn a1zn1 an
MATLAB中的指令：acker(A,B,pole) 上例：K＝ acker(F,G,pole)可得到K阵
K1
f12
K2
F12＝K2时不可观
4. 状态反馈不能改变或配置系统的零点
1）零点的定义
G(z)
在状态空间中：
Y (z) R(z)
N(z) , P(z)
零点：使N(z)=0（P(z)
0）的zi ,
i=1...m
x(k 1) Fx(k) Gu(k)
(zI F ) X (z) GU (z)
第6章 计算机控制系统的状态空间设计
6.1 离散系统的状态空间描述 6.2 离散系统的可控可观性 6.3 状态反馈控制律的极点配置设计 6.4 状态观测器设计 6.5 调节器设计（控制律与观测器的组合）
6.3.1 状态反馈控制 x(k 1) Fx(k) Gu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
3. 闭环系统的可观性由[F-GK]及[C-DK]决定。如果开环系统是可控可 观的，加入状态反馈控制，由于K的不同选择，闭环系统可能失去可观 性。
即；开环（C,F）可观
闭环［(C-DK)，(F-GK)］可观
闭环系统可观阵：
C DK
Wo
(C
DK )(F
GK )
例： 选：
F
f11 , 0,
(C
DK
)(F
GK
)n1
f12 f22
,
1
G
0
,
C (1
0)
若选K使C-DK=0，则
W0 0
F22不可控
u(k) (K1, K2 )x(k)
开环可观阵 闭环
1
Wo
f11
F
GK
f11 0
K1
f12 K2
f22
0
f12
F12＝0时不可观
F22仍不可控
1
0
Wo
f11
3. 使用极点配置方法的注意问题
（1）系统完全可控是求解该问题的充分必要条件。若系统 有不可控模态，利用状态反馈不能移动该模态所对应的极 点。
（2）实际应用极点配置法时，首先应把闭环系统期望特性 转化为z平面上的极点位置。
（3）理论上，反馈增益 ，系统频带 ，快速性 。
u(k)
执行元件饱和
系统性能 。
2. 闭环系统的可控性由[F-GK]及G决定。可以证明，如开环系统可控，闭环 系统也可控，反之亦然。
Wc [F n1G, F n2G, FG, G] [(F GK )n1G, (F GK )n2 G, (F GK )G, G]T WcT
T是一个初等变换阵，可以选择T将闭环可控阵中的K消掉
y(k) Cx(k)
Y (z) CX (z)
使输出为0：
Y (z) zz0 CX (z) zz0 0 X (z) zz0 0
X (z) zz0 (zI F)1GU (z) zz0 0 U (z) zz0 0
写成矩阵形式：
zI F, G X (z)
C,
0
U
(z)
z z0
取线性反馈控制
r: p K :mn
u(k) Kx(k) Ir(k)
闭环系统状态方程：
x(k 1) F GK x(k) Gr(k)
y(k) C DK x(k) Dr(k)
I－单位阵
K改变了状态转移阵，系统极点 K改变了x与y的偶合关系
1. 闭环系统的特征方程由[F-GK]决定，系统的阶次不改变。通过选择状态反 馈增益K，可以改变系统的稳定性。
/
2
T
T
2
K2
/
2
1 TK2
det[zI (F GK )] det z 1 T 2 K1 / 2 T T 2 K2 / 2
TK1
z 1 TK2
z2 (T 2 K1 / 2 TK2 2)z (T 2 K1 / 2 TK2 1) 0
z1,2 0.8 j0.25 (z) z2 1.6z 0.7
实际要考虑到所求反馈增益物理实现的可能性 。
（4）二阶系统可以直接利用系数匹配法；高阶系统应依 Ackermann公式，利用计算机求解。
6.3.3 多输入系统的极点配置
多输入系统：u(k) Kx(k) Km*n维矩阵
• 对于n阶系统，最多需要配置n个极点。
• 单输入系统状态反馈增益K矩阵为1×n维，其中的n个元 素可以由n个闭环特征值要求惟一确定。
可求得n个未知系数
Ki , i 1, 2, , n
例：
x(k
1)
1,
0
T
T2 / 2
1
x(k)
Hale Waihona Puke Tu(k ) 解：取 u(k) (K1, K2 )x(k)
求：K，使闭环极点为 z1,2=0.8j0.25
F
GK
1,
0
T 1
T
2/ T
2
( K1 ,
K2
)
1
T 2 K1 TK1