4．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决 下面的问题．
（1）分别求出当 2≤x≤4 时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2（x﹣1）2+1 的最大值和最小 值；
（2）若 y= 的值不大于 2，求符合条件的 x 的范围； （3）若 y= ，当 a≤x≤2 时既无最大值，又无最小值，求 a 的取值范围； （4）y=2（x﹣m）2+m﹣2，当 2≤x≤4 时有最小值为 1，求 m 的值． 【答案】 （1）解：y=2x+1 中 k=2＞0， ∴ y 随 x 的增大而增大， ∴ 当 x=2 时，y 最小=5；当 x=4 时，y 最大=9． ∵ y= 中 k=2＞0， ∴ 在 2≤x≤4 中，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x=2 时，y 最大=1；当 x=4 时，y 最小= ． ∵ y=2（x﹣1）2+1 中 a=2＞0，且抛物线的对称轴为 x=1， ∴ 当 x=1 时，y 最小=1；当 x=4 时，y 最大=19
，
解得：OP=4+2 或 OP=4-2 （不合题意舍去），
∴ P（0，4+2 如图 5，
）；
若点 P 在 y 轴负半轴，△ PDB∽ △ AOP，
则
，即
，
解得：OP=-4+2 或-4-2 （不合题意舍去），
则 P 点坐标为（0，4-2 ）
故点 的坐标为：
或
或
或
或
【解析】【解答】解：（1）解一元二次方程
代入 y= 得 3= ， 解得：k=6 （2）解：OD=2+2=4，
在 y= 中令 x=4，解得 y= ．
则 C 的坐标是（4， ）． 设 AC 的解析式是 y=mx+n，
根据题意得：
，
解Байду номын сангаас：
，
则直线 AC 的解析式是 y=﹣ x+
（3）解：直角△ AOB 中，OB=2，AB=3，则 S△ AOB= OB•AB= ×2×3=3；
且 a≤x＜0 时，得到 y≤ 有最大值 ，无最小值，②当 k＜0 时，如图得当 0＜x≤2 时，y=
无最小值，有最大值 ，同理当 a＜0 时，且 a≤x＜0 时，y≤ 有最小值 ，无最大值，于 是得到结论；（4）分 m＜2、2≤m≤4 和 m＞4 三种情况考虑，根据二次函数的性质结合当 2≤x≤4 时有最小值为 1 即可得出关于 m 的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出 结论．
【解析】【分析】（1）根据 k=2＞0 结合一次函数的性质即可得出：当 2≤x≤4 时，y=2x+1 的最大值和最小值；根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出：当 2≤x≤4 时，
y=2（x﹣1）2+1 的最大值和最小值；（2）令 y= ≤2，解之即可得出 x 的取值范围；（3）
①当 k＞0 时，如图得当 0＜x≤2 时，得到 y= 无最大值，有最小值 ，同理当 a＜0 时，
直角△ ODC 中，OD=4，CD= ，则 S△ OCD= OD•CD= ×4× =3． 在直角梯形 ABDC 中，BD=2，AB=3，CD= ，则 S 梯形 ABDC= （AB+DC）•BD= （3+ ）×2=
． 则 S△ OAC=S△ AOB+S 梯形 ABDC﹣S△ OCD=3+ ﹣3= 【解析】【分析】（1）首先求得 A 的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式； （2）首先求得 C 的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（3）根据 S△ OAC=S△ AOB+S 梯形 ABDC﹣S△ OCD 利用直角三角形和梯形的面积公式求解．
∴ m=﹣ ×2+ = ，
∴ 点 E（2， ）．
∵ 反比例函数 y= 的图象经过点 E，
∴ k=2× =3，
∴ 反比例函数的解析式为 y=
（3）解：延长 FC 至 M，使 CM= CF，连接 EM，则 S△ EFM= S△ EFC ， M（3，﹣0.5）．
在 y= 中，当 x=3 时，y=1， ∴ F（3，1）． 过点 M 作直线 MP∥ EF 交直线 AB 于 P，则 S△ PEF=S△ MEF ． 设直线 EF 的解析式为 y=a'x+b'，
（4）解：①当 m＜2 时，有 2（2﹣m）2+m﹣2=1， 解得：m1=1，m2= （舍去）；②当 2≤m≤4 时，有 m﹣2=1，
解得：m3=3；③当 m＞4 时，有 2（4﹣m）2+m﹣2=1， 整理得：2m2﹣15m+29=0． ∵ △ =（﹣15）2﹣4×2×29=﹣7，无解．
∴ m 的值为 1 或 3． ①当 k＞0 时，如图得当 0＜x≤2 时，y= 无最大值，有最小值 ，同
∴
，解得
，
∴ y=﹣ x+ ．
设直线 PM 的解析式为 y=﹣ x+c， 代入 M（3，﹣0.5），得：c=1，
∴ y=﹣ x+1． 当 x=1 时，y=0.5， ∴ 点 P（1，0.5）． 同理可得点 P（1，3.5）． ∴ 点 P 坐标为（1，0.5）或（1，3.5）． 【解析】【解答】解：（1）∵ D（3，3）， ∴ OC=3， ∴ C（3，0）． 故答案为（3，0）； 【分析】（1）由 D 的横坐标为 3，得到线段 OC=3，即可确定出 C 的坐标；（2）由矩形的 对边相等，得到 AB=CD，由 D 的纵坐标确定出 CD 的长，即为 AB 的长，再由 B 的坐标确定 出 OB 的长，再由 A 为第一象限角，确定出 A 的坐标，由 A 与 C 的坐标确定出直线 AC 的 解析式，将 E 坐标代入直线 AC 解析式中，求出 m 的值，确定出 E 的坐标，代入反比例解
∵ 点 B 的坐标为（﹣3，1）， ∴ 点 D 的坐标为（﹣3，﹣1）． 设直线 AD 的函数表达式为 y=mx+n， 将点 A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入 y=mx+n 中，
，解得：
，
∴ 直线 AD 的函数表达式为 y=2x+5．
当 y=2x+5=0 时，x=﹣ ，
∴ 点 P 的坐标为（﹣ ，0）
2．如图，一次函数 y=x+4 的图象与反比例函数 y= （k 为常数，且 k≠0）的图象交于 A （﹣1，a），B（b，1）两点．
（1）求反比例函数的表达式； （2）在 x 轴上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，求满足条件的点 P 的坐标； （3）求△ PAB 的面积． 【答案】（1）解：当 x=﹣1 时，a=x+4=3， ∴ 点 A 的坐标为（﹣1，3）． 将点 A（﹣1，3）代入 y= 中， 3= ，解得：k=﹣3， ∴ 反比例函数的表达式为 y=﹣ （2）解：当 y=b+4=1 时，b=﹣3， ∴ 点 B 的坐标为（﹣3，1）． 作点 B 关于 x 轴的对称点 D，连接 AD，交 x 轴于点 P，此时 PA+PB 的值最小，如图所示．
使得 S△ PEF= S△ CEF ， 求点 P 的坐标． 【答案】（1）（3，0） （2）解：∵ AB=CD=3，OB=1， ∴ A 的坐标为（1，3），又 C（3，0）， 设直线 AC 的解析式为 y=ax+b，
则
，解得：
，
∴ 直线 AC 的解析式为 y=﹣ x+ ． ∵ 点 E（2，m）在直线 AC 上，
析式中求出 k 的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长 FC 至 M，使 CM= CF，连接
EM，则 S△ EFM= S△ EFC ， M（3，﹣0.5）．求出 F（3，1），过点 M 作直线 MP∥ EF 交直线 AB 于 P ， 利 用 平 行 线 间 的 距 离 处 处 相 等 得 到 高 相 等 ， 再 利 用 同 底 等 高 得 到 S△ PEF=S△ MEF ． 此时直线 EF 与直线 PM 的斜率相同，由 F 的横坐标与 C 横坐标相同求出 F 的横坐标，代入反比例解析式中，确定出 F 坐标，由 E 与 F 坐标确定出直线 EF 斜率，即为 直线 PM 的斜率，再由 M 坐标，确定出直线 PM 解析式，由 P 横坐标与 B 横坐标相同，将 B 横坐标代入直线 PM 解析式中求出 y 的值，即为 P 的纵坐标，进而确定出此时 P 的坐 标．
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，平行于 y 轴的直尺（一部分）与双曲线 y= （k≠0）（x＞0）相交于点 A、C，与 x 轴相交于点 B、D，连接 AC．已知点 A、B 的刻度分别为 5，2（单位：cm），直尺的宽 度为 2cm，OB=2cm．
（1）求 k 的值； （2）求经过 A、C 两点的直线的解析式； （3）连接 OA、OC，求△ OAC 的面积． 【答案】（1）解：∵ AB=5﹣2=3cm，OB=2cm， ∴ A 的坐标是（2，3），
三角形与以 ， ， 为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点 的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】 （1）
；
（2）解：如图，过点 作
，垂足为 ，
∵
，
∴
，
设
，
∵
∴ EC=12-x，
在 RtΔBEC 中，
=12， ，
∴
整理得：
，
解得：
（不合题意舍去），
，
∴
，
，
∴
，
把
代入
，得
（3）解：存在． 如图 2，
3．如图直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 BC 在 x 轴上，点 B，D 的坐标分别为 B（1，0）， D（3，3）．
（1）点 C 的坐标________； （2）若反比例函数 y= （k≠0）的图象经过直线 AC 上的点 E，且点 E 的坐标为（2，
m），求 m 的值及反比例函数的解析式； （3）若（2）中的反比例函数的图象与 CD 相交于点 F，连接 EF，在直线 AB 上找一点 P，