4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多 9 支 南方球队总得分是北方球队的 9 倍 求证 冠 军是一支南方球队（胜得 1 分 败得 0 分） 解：设北方球队共有 x 支，则南方球队有 x+9 支 所有球队总得分为 C2 x 9
2
(2 x 9)(2 x 8) (2 x 9)( x 4) 2
2
2
体 在点(1,0,1)设置一光源 xoy 平面内有一以原点为圆心的圆 C 被光照到的长度为 2π 求 C 上未被照到的长度
第 4/4 页
南方球队总得分为
9 (2 x 9)(2 x 8) 9( x 9)( x 4) =189 10 2 10 (2 x 9)( x 4) =21 10
2
北方球队总得分为
南方球队内部比赛总得分 Cx9 =105
ห้องสมุดไป่ตู้
北方球队内部比赛总得分 Cx =15 北方胜南方得分=21-15=6 北方球队最高得分=5+6=11 因为 11×15=165<189 所以南方球队中至少有一支得分超过 11 分． 冠军在南方球队中 当 x=8 时 所有球队总得分为 C2 x 9
南方球队总得分为
9 (2 x 9)(2 x 8) 9( x 9)( x 4) 10 2 10
(2 x 9)( x 4) 10
2
北方球队总得分为
南方球队内部比赛总得分 Cx9
北方球队内部比赛总得分 Cx
2
第 2/4 页
-3-
(2 x 9)( x 4) x( x 1) 0 10 2
2
2
(2 x 9)(2 x 8) (2 x 9)( x 4) =300 2
南方球队总得分为
9 (2 x 9)(2 x 8) 9( x 9)( x 4) =270 10 2 10
第 3/4 页
-4-
北方球队总得分为
(2 x 9)( x 4) =30 10
解得：
11 229 11 229 11 16 x 9 3 3 3
因为
(2 x 9)( x 4) 为整数 10
x=6 或 x=8 当 x=6 时 所有球队总得分为 C2 x 9
2
(2 x 9)(2 x 8) (2 x 9)( x 4) =210 2
2
南方球队内部比赛总得分 Cx9 =136
北方球队内部比赛总得分 Cx =28 北方胜南方得分=30-28=2 北方球队最高得分=7+2=9 因为 9×17=153<270 所以南方球队中至少有一支得分超过 9 分． 冠军在南方球队中 综上所述，冠军是一支南方球队 5 （理科）O-XYZ 坐标系内 xoy 平面系内 0 y 2 x 绕 y 轴旋转一周构成一个不透光立
第 1/4 页
-2-
B1
C A
P
C1 B
A1
略解：如图得证 3 已知
a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1a2 a2 a3 a3a1 b1b2 b2b3 b3b1 min(a1 , a2 , a3 ) min(b1 , b2 , b3 ) 求证： max(a1 , a2 , a3 ) max(b1 , b2 , b3 )
-1-
2008 北京大学自主招生数学试题
1 求证：边长为 1 的正五边形对角线长为
5 1 2
B 1 x
1 2 x D 1-x 5 E 3
A
x
x
4 C
略解： 三角形 ABE∽三角形 DAE
x 1 x 1 x
则： x
5 1 2 5 1 2
对角线AC=1+x=
2
已知六边形 AC1BA1CB1 中 AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1 求证△ ABC 面积是六边形 AC1BA1CB1 的一半