典型例题一例 如图，以点O 为旋转中心，将ABC ∆顺时针旋转45°，画出图形．分析 当旋转中心O 在图形之外时，O 是一个孤立的点，没有从O 出发的线段或射线作参照，就无法确定旋转的角度，因此，首先还须将O 与图形上的某点（或某些点）连结起来．解 如图，连结OA 、OB 、OC ．将这三条线段绕O 点分别顺时针旋转45°，得C O B O A O '''、、，则C B A '''∆就是按题目要求得到的旋转后的图形．说明： 图形旋转后的效果有时不像平移那样直观，画图出现错误时可能不易发现，因此画图时要特别细心．典型例题二例 如图，正方形ABCD 中，E 是正方形内的一点，把AED ∆绕着点A 按逆时针旋转90°，画出旋转后的三角形，并回答：（1）图中有哪些等线段和等角？（2）哪两个三角形形状、大小都一样？分析 一个图形绕它的对称中心旋转一个角度后，图形中的每一点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度．本例中可以发现AD 旋转90°后，刚好与AB 重合，于是将AE 旋转90°到E A '的位置，使︒='∠90E EA ，确定点E '，连E B '，则E AB '∆就是ADE ∆按要求旋转的三角形．（1）（2）中，根据图形旋转的特征，图形从一个位置旋转到另一个位置，形状和大小都没有改变，可确定相等的线段、相等的角以及形状相同的三角形．答案 （1）相等的线段有：E B DE E A AE CD BC AB AD '='====,,．相等的角有：E E E AB ADE E BA DAE '∠=∠'∠=∠'∠=∠,,．（2）ADE ∆与E AB '∆的形状和大小都一样．典型例题三例 如图，把一块砖ABCD 直立于地面上，然后将其轻轻推倒．在这个过程中，A 点保持不动，四边形ABCD 旋转到B C D A '''位置．（1）指出在这个过程中的旋转中心，并说出旋转的角度是多大？（2）指出图中的对应线段．分析（1）由于四边形B C D A '''是由四边形ADCB 旋转得到的，A 点保持不动，所以A 是旋转中心．又由于D A B ',,三点在一条直线上，且AB AD ⊥，所以旋转的角度是90°．（2）由于D C B A ,,,的对应点分别是D C B A ''',,,，所以不难找出图中的对应线段．答案 （1）A 是旋转中心，旋转的角度是90°．（2）CD BC AD AB ,,,的对应线段分别是D C C B D A B A '''''',,,．典型例题四例 （1）把长方形ABCD 绕着顶点A 逆时针旋转60°．如图．（2）把长方形ABCD 绕着长方形内一点P 逆时针旋转60°．解 （1）①AB 绕A 点逆时针旋转60°到B A '位置，.,60AB B A AB B ='︒='∠②连结AC ，作.,60AC C A AC C ='︒='∠③作.,60AD D A AD D ='︒='∠连结B C C D '''',，则四边形D C B A '''是四边形ABCD 逆时针旋转60°得到的图形．（2）①连结AP ，作︒='∠60PA A ，使.AP P A ='②用同样的方法作出D C B '''、、，连结A D D C C B B A ''''''''、、、．则四边形D C B A ''''是四边形ABCD 绕P 点逆时针旋转60°得到的图形．典型例题五例 画一个三角形，使通过这个三角形的旋转得到一个正六边形，指出这是一个什么三角形、旋转中心和每次旋转的角度、需要旋转多少次才能完成这个图形．分析 这个题目给了我们一个由三角形制作正多边形的方法．解 给出的三角形应该是正三角形，可以以它的任一个顶点为旋转中心，每次旋转60°，旋转六次便可完成这个图形．说明： 利用这个方法，可以画出任意边数的正多边形．请想一下，画正n 边形应该使用什么样的三角形？怎样旋转呢？典型例题六例 把8个同样大小的等腰梯形拼成如图所示的图形．（1）找出它的旋转中心．（2）当它旋转多少度后与自身重合．分析 （1）从图中可以看出，这八个等腰梯形的八个顶点H G F E D C B A ,,,,,,,恰好在同一个圆周上，该图形的旋转中心就是各顶点所在圆的圆心．因此只要把任意两腰延长，它们的延长线的交点就是旋转中心．（2）这八个等腰梯形将圆周八等分，因此，它只要旋转︒=︒458360后就能与自身重合． 答案 （1）任意延长任何梯形的两腰，这两腰延长线的交点就是旋转中心．（2）旋转的角度是45°．典型例题七例 找出下列图形中的旋转中心，旋转角以及旋转的“基本图案”。
解 图（1）的旋转中心为点O ，旋转角是120°，“基本图案”是.ABC ∆图（2）的旋转中心为点O ，旋转角是90°，“基本图案”是OABC 围成的图案。
图（3）的旋转中心为点O ，旋转角是72°，“基本图案”是四边形OABC 。
图（4）的旋转中心是O ，旋转角是60°，“基本图案”是弧ABO 。
典型例题八例 何时阴影部分的面积不变？如图，点O 为等边ABC ∆的中心，射线OE 交AB 边于点OF E ,交BC 边于点F ．若ABC ∆的面积为︒=∠120,EOF S ，则当EOF ∠绕点O 旋转时，得到的阴影图形的面积发生变化吗？下列有三名同学提出了观点．甲：只有当OF OE ,分别与ABC ∆的边垂直时，阴影部分的面积才不变．乙：只有当点F E ,分别与ABC ∆的顶点重合时，阴影部分的面积才不变．丙：无论怎样旋转，阴影部分的面积都保持不变． 你更支持谁的观点？_______________________．理由是______________________________．分析 先考虑特殊情况下阴影图形的面积是多少，于是不妨连结OC OB ,，可发现S S OBC 31=∆．那么，若能说明如图所示的四边形OEBF 的面积也是S 31，就可以肯定丙的观点，否则就不能．而要说明四边形OEBF 的面积也是S 31，则只须说明OEB ∆与OFC ∆的面积相等，那么这两个三角形是什么关系呢？是旋转对应的关系吗？你的观点是什么？你将怎样说明你的观点是正确的？说明： 本题中，当︒=∠120EOF 时，所得阴影部分的面积总是等于S 31，无论EOF ∠绕点O 怎样旋转．但要说明这一结论的正确性，就必须找到一般情形下阴影部分的面积与特殊情形（点F E ,分别与C B ,重合）下阴影部分的面积之间的关系．因此找到OEB ∆与OFC ∆的关系显得尤为重要．典型例题九例 （1）钟表的时针与分针每分钟各转多少度角？每5分钟各转多少度角？（2）从1点到1点25分，分针转了多少度角？时针转了多少度角？1点25分时针与分针的夹角是多少度？（3）从8点到8点40分，分针转了多少度角？时针转了多少度角？8点40分时针与分针的夹角是多少度？分析 钟表的时针12小时旋转一周，也就是12小时旋转360°，每小时旋转12360︒，这样就可求出每分钟旋转多少度，然后根据题意计算出时针旋转的角度．分针每小时旋转一周，也就是60分钟旋转360°，则每分钟旋转︒=︒660360，然后就可根据题意计算出分针旋转的角度． 解 （1）时针每分钟旋转︒=⨯︒)21(1260360，分针每分钟旋转︒=︒660360． 时针每5分钟︒=⨯⨯︒)25(51260360，分针每5分钟旋转︒=⨯︒30560360． （2）1时整，时针与分针的夹角为30°．从1点到1点25分，时针又旋转了︒=⨯︒5.1225)21(，从1点到1点25分，分针又旋转了6°×25＝150°．所以1点25分，分针与时针的夹角为150°－30°－12.5°＝107.5°．（3）8时整，时针与分针的夹角为120°．从8点到8点40分，时针又旋转了︒=⨯︒2040)21(．从8点到8点40分，分针又旋转了6°×40＝240°．所以8点40分，分针与时针的夹角为（360°－120°）＋20°－240°＝20°．典型例题十例 如图，四边形ABCD 是旋转对称图形，回答下列问题：（1）指出它的旋转中心；（2）旋转多少度后才能与自身重合；（3）指出图中相等的线段．分析 （1）从图中可以看出，O 是旋转中心．（2）从图中可以看出OC 与OD 不相等，因此OC 与OD 不可能是对应线段，OC 只能与OA 对应，而C O A ,,在同一条直线上，所以此图应旋转180°后能与自身重合．（3）找出了旋转中心和对应点后，不难找出相等的线段．答案 （1）旋转中心是点O ；（2）旋转180°后才能与自身重合；（3）相等的线段是BO DO CO AO AB DC BC AD ====,,,．典型例题十一例 如图，将已知的ABC ∆以A 为旋转中心逆时针旋转100°，得C B A '''∆，画出图形，并描画出点B 到B '，点C 到C '在旋转过程中走过的痕迹．分析 题目中问到了B 、C 两点走过的痕迹问题．你可以想一想、试一试，是否会发现，图形上的任一点（除旋转中心之外），在旋转过程中所走过的路线都是一段圆弧．解 如图，以A 为圆心，AB 为半径画弧，过点A 作︒='∠100B BA ，B A '与交于B '．用同样的方法求出点C '，连线C A C B B A ''''、、，便得所求之图形．说明：除了旋转中心、旋转角度之外，还要注意题目中应给出旋转的方向，是逆时针还是顺时针，忽视了这个条件容易出错．典型例题十二例 如图，将平行四边形ABCD 绕其内部一点O 顺时针旋转90°，画出图形．分析 研究图形旋转的角度，被度量的角必须是以旋转中心为顶点的角。