《线性代数》课程论文题目：矩阵及其应用
矩阵及其应用
摘要：本文主要介绍了矩阵的概念，运算方法两方面内容，在大量的文献基础上，给出了矩阵的运算及其逆矩阵的求解方法。

最后通过具体的例子说明其应用，使其在计算时更加的简便，快捷。

关键词：矩阵矩阵的运算逆矩阵
1.矩阵的概念
1.1 矩阵的定义
由m ×n 个数a ij (i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)排成m 行n 列的数表
mn
m m n n a a a a a a a a a
21
2222111211
称为m ×n 矩阵，记作
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 简记为()
()a a A
ij
n
m ij n
m A =
=
=
⨯⨯。

这m ×n 个数称为A 的元素，简称为元。

元素是
实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵为复矩阵。

1.2 几种特殊矩阵
（1）行数与列数都等于n 的矩阵A ，称为n 阶方阵。

也可记作A n 。

例如：
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛397622213765432221613是一个4阶方阵。

（2）只有一行的矩阵()n a a a A ,...,,21=，称为行矩阵（或行向量）。

只有一列的矩阵⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=n a a a B 21，称为列矩阵（或列向量）。

（3）如⎪⎪⎭⎫
⎝⎛2100λλ的方阵，称为对角矩阵（或对角阵）。

（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作n m O ⨯. （5）元素全为1的方阵称为单位矩阵（或单位阵）。

1.3 同型矩阵与矩阵相等
（1） 同型矩阵：两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵。

如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛397622213765432221613与
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛3976
6229
7658
4964
为同型矩阵。

（2）两个矩阵()ij a A =与()ij b B =为同型矩阵,并且对应元素相等,即
b a ij
ij
=()n j m i ,,2,1;,,2,1 ==,则称矩阵A 与B 相等，记作A=B 。

2.矩阵的运算
2.1 矩阵的加法
设有两个m ×n 矩阵()ij a A = ,()ij b B = ,那矩阵A 与B 的和，记作A +B ，规定为
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛+++
++++++=+b b b b b b b b b mn mn m m m m n n n n a a a a a a a a a B A
221122222221211112121111。

（1）A B B A +=+; （2）)()(C B A C B A ++=++;
（3）)(,0)(B A B A A A -+=-=-+. 2.2 数与矩阵相乘
数λ与矩阵A 的乘积记作A λ,规定为⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=mn m m n n a a a a a a
a a a A λλλλλλλλλλ
212222111211，设B A 、为n m ⨯矩阵，μλ、为实数：
（1）()()A A μλλμ=; （2）
()A A A μλμλ+=+; （3）B A B A λλλ+=+)(. 2.3 矩阵与矩阵相乘
设()ij a A =是一个s m ⨯矩阵,()ij b B =是一个n s ⨯矩阵，规定矩阵A 与矩阵B 的
乘
积
是
一
个
n
m ⨯矩阵
()
ij c C =，其中
∑==+++=s
k kj ik sj is j
i j
i ij
b a b a b
a b a c 1
22
11
()n j m i ,,2,1;,,2,1 ==，并把此乘积
记作AB C =。

（1）)()(BC A C AB =; （2）AC AB C B A +=+)(; (3) B A AB )()(λλ= （4）A EA AE == 2.4 矩阵的转置
把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作T A ,
例如：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=41A ,)41(=T
B 。

（1）A T T
A =)（; （2）()T T T
B A B A +=+;
（2）()T T
A A λλ=; (4)()T T T
A B AB = .
2.5 方阵的行列式
由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式，记作A A det 或。

例如：286328632-==⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=A A ，则。

运算性质： （1）A A T =; (2)A A n λλ=; （3）B A AB = 2.6 对称矩阵
设A 为n 阶方阵，如果满足),,2,1,(,n j i a a A A ji ij T ===即，那么A 称为对
称矩阵。

如：⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=6010861612A 为对称阵。

对称阵的元素以主对角线为对称轴对应
相等.如果A A T -=, 则称 A 为反对称矩阵. 2.7 共轭矩阵
当()ij a A =为复矩阵时，用ij a 表示ij a 的共轭复数，记()
ij a A =，A 称为A 的共轭矩阵。

（设A 、B 为复矩阵，λ为复数,且运算都是可行的）: （1）B A B A +=+; (2)A A λλ=; （3）B A AB =
在进行矩阵的运算时，我们还应注意：
（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。

（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，且矩阵相乘不满足交换律。

（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。

3. 逆矩阵
3.1 逆矩阵的定义
对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B,使AB=BA=E,则说矩阵A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵。

A 的逆矩阵记作1-A 。

例如：
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2/12/12/12/11111B A ，,B 是A 的一个逆矩阵。

逆矩阵的性质： （1）若A 可逆，则()
A A =--1
1
;
（2）若A 可逆，数λ≠0，则A λ可逆，且()11
1
--=
A A λ
λ；
（3）若A 、B 为同阶方阵且均可逆，则AB 亦可逆，且()111
---=A B AB . （4）若A 可逆，则T A 亦可逆，且()()T
T A A 11
--=.
（5）若A 可逆，则有1
1--=A A
在求解过程中，要注意：（1）若A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是唯一的. （2）矩阵A 可逆的充要条件是 0≠A ,且*-=
A A
A 11,其中A *
为矩阵A 的伴随矩阵。

⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=*nn n n n n A A A A A A
A A A A 2122212
12111。

3.2 逆矩阵的求解 （1）待定系数法
设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=0112A ,求A 的矩逆阵。

解：设的逆矩阵为A d c b a B ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=
则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10012210010112b a d b c a d c b a AB ⎪
⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧=-=-=+=+⇒,
1,0,02,
12b a d b c a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧==-==⇒2110,
2,1,
1,0B d c b a ,又因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100101-12211-0211-001-12， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-21101A .
（2）伴随矩阵法
求方阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=343122321A 的逆矩阵。

解：因为存在。

，所以，1023
431223
21-≠==A A 3
331
2;2341
21211-====A A ,同理得，2
;5;
4;2;6;6;233323123222113-==-==-===A A A A A A A , 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=*222563462A ,故，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==*-1112/532/32312225634622111
A A A .
总结
本文通过对矩阵性质、逆矩阵及相关结论的研究，给出了部分矩阵计算行列式的方法．从上文的一些结论和给出的例子可以看出，矩阵在行列式计算中的应用很多，而且利用矩阵、逆矩阵计算行列式，可以有效的简化计算．在实际运用的过程中，要根据行列式的结构特点，选择合适的方法，将使该方法得到更广泛的应用．。