k0n f max( k0ns , k0nc )
根据边界条件，在x=a,-a处，有 E y , H z 连续（E y 和它的偏导数）
tan(ha ) q
h
tan(ha ) p
h
h(2a) m arctan(q ) arctan(p )
h
h
这就是TE模的特征方程
13
类似地，再研究TM模
To explain metal’s dispersion regulation, another more precise mode was demonstrate called Drude mode.
Where,
()
p2 2 i
p
Is totally caused by the transition of
令
2 1
k021
2
2 2
2
k02 2
在X=a处利用
1
dH y (x) dx
可以得到
tan( 1a)
1 2 2 1
T
1a m arctan(T )
16
对于奇对称的情况：
Hy(x)
Asin(1a)e 2 (xa) , x a Asin(1x),| x | a Asin(1a)e 2 (xa) , x a
2h 212 210
5
如果相干相长，即满足谐振条件，则此入射角对应的光 线（模式）可以被导波所接受
2h 212 210 2m
物理意义：在波导厚度h确定的情况下，平板波导所能 维持的导模模式数量是有限的，此时m只能取有限个整 数值，这个方程也称作平板波导的本征方程
每一模式对应的锯齿光路和横向光场分布
6
对于特征方程中的 12 10 是上下界面处全反射所引起的相移，那 么具体可根据菲涅尔公式求出。
rs
rTE
n1 cos1 n1 cos1
n2 cos2 n2 cos2
rp
rTM
n2 cos1 n1 cos2 n2 cos1 n1 cos2
TE模表示电矢量的偏振方向 垂直于入射面，磁矢量的偏 振方向在入射面内 TM模表示电矢量的偏振方向 在入射面内，磁矢量的偏振 方向垂直于入射面
Why free electrons will oscillate with the light wave excitation?
Hy 是SPP的本征模式. 然而, Ey 并不存在于表面等离子波 中. 所以只用讨论Hy 模式 如图所示，Hy Ex k 三者满足右手定则，Ex的正负半轴 激起金属中自由电子的震荡。
在x=a处利用 1 dH y (x) 连续的边界条件
dx
tan( 1a)
2 1 1 2
1 T
1a
m
arctan(1 T
)
17
surface plasmon polariton
表面等离子体是传播于介质与金属（银）界面上的电磁激 发，在垂直于界面的方向上呈指数衰减。金属中的自由电 子在外界电磁场的作用下相对于金属中的正离子发生相对 位移，带来电子密度的重新分布，从而在金属表面的两边 产生电场
h m arctan(p0 ) arctan(p2 )
h m arctan(nn1202p0 ) arctan(nn1222p2 )
TE Mode TM Mode
其中：
（k
2 0
n12
2）1/ 2
p0 ( 2 k02n02 )1/2
p2 ( 2k02n22 )1/2
由于n0 ,n2都是低折率，n1为高折射率，所以还存在如下不等式
2
EyBiblioteka 0可以写出3个区域的亥姆赫兹方程：
11
2Ey
x 2
k02nc2
2
Ey
0
2Ey
x 2
k02
n
2 f
2
Ey
0
2Ey
x 2
k02 ns2
2
Ey
0
由于亥姆赫兹方程和薛定谔方程具有相同的形式，先回顾一维对称 有限深势阱中电子的波函数:
对于有限深势阱的方程，其解不容易求出，但是其试探解的形式则相
23
Metal’s dispersion relation
自由电子气模型:
dx2 m dt 2
m
dx eE dt
E E0eiwt
e
x(t) m( 2 i ) E(t)
P nex(t)
ne2
E
m( 2 i )
D 0E P
r
(
)
1
p2 2 i
24
A more precise dispersion relation: Drude mode
27
根据麦克斯韦关系：n r
15
由于结构上的对称性，决定了试探解TM波光场也是对称的。即：导 波层外e指数衰减，在导波层内是驻波场。这个驻波场不是奇对称就 是偶对称（一维有限对称深势阱的试探解类似）
对于偶对称情况：
H y (x)
Acos(1a)e 2 (xa) , x a Acos(1x), | x | a A cos( 1a)e 2 (xa) , x a
19
表面等离子波的波矢之间存在如下关系：
2
kx2
metal
2
c2
已知，金属的相对介电常数为复数。在光波段，实部是个较大的负
数，虚部是较小的正数。
根据物理图像，在X方向上的波矢主要表示的是损耗，所以k x 是一个 虚数。而沿表面等离子波传播方向上的波矢 是个复数，实部表示
随着光波的传播，位相的改变，而其虚部同样表示传输损耗。
那么介质与金属中的波矢关系可以表示为： 2 (ikx )2 k02
而在之前讨论的传统波导中波矢关系为： 2 kx2 k02
如果要求表面等离子波导的特征方程和电场（磁场）分布，可以直 接改变波矢，带入之前的普通对称平板波导TM模的表达式。
下面以MIM结构进行说明
20
MIM(金属-介质-金属)的结构图和光场图
electrons between energy bands
25
Drude–Lorentzian model
Another important model of metal dispersion relation is drudelorentzian :
()
p2 2 i
2 m1
2
g Lm Lm 2
我们之前书本上学习的色散关系，大多是对光波透明的物质，如玻璃， 晶体等。而金属的色散关系比较特殊，下面将具体讨论金属的色散关系
思路：金属的色散关系可基于经典模型，而无需用到量子力学的知识。 这是因为金属中具有很高的自由电子浓度，导致相邻电子能级之间非 常靠近。即使当金属结构尺寸小于几十个纳米时，仍不会出现能级分 立等量子效应。所以金属与电磁场之间的相互作用仍可以在经典电磁 理论的框架内通过麦克斯韦方程来解释。
H y x
iEz
Ey
0
Hx
E y x
i0H z
iH x
H z x
iEy
10
Hy Ex
Ez
i
H y x
iEx
Ez x
i0H y
2(x, y, z) k 2(x, y, z) 0
亥姆赫兹方程：
2
2
2
2
x2 y 2 z 2
先研究TE模
Ey Eyeiz
2Ey
x 2
k2
分析平板波导有两种基本理论： 1.几何光学理论 2.电磁场理论
3
1.几何光学理论 当满足全反射条件时，光线会在导波层上下介质界面处 发生全反射，并沿Z轴传输。
覆盖层折射率N2 导波层折射率N1 衬底层折射率N0 导波 层厚度为H 光线在上下界面上均发生全反射，假设y方向均匀，则光 线的波矢在x z方向上有相应的分量（平板波导可不考虑 y方向）
对简单。
x
(x) Ae (x 0)
(x) C cos(kx) / D sin(kx)(0 x a)
x
(x) Be (x a)
12
类似的，亥姆赫兹方程组的试探解可以写为：
Ey
Ace , p( xa) x a
Af cos(hx ),a x a
Aseq( xa), x a
p2 2 k02nc2 q2 2 k02ns2 h2 k02n2f 2
主要内容
1.普通介质平板光波导 2.表面等离子体平板波导
1
光纤是一种很常见的介质光波导，其截面为圆形 ，但在集成光学中，人们更感兴趣的是在芯片上 集成平面光波导
图1.1 平板波导结构示意图 （由 覆盖层，导波层，衬底组成）
图1.2 条形波导结构示意图
2
平板波导由三层介质组成，中间层介质折射率最 大，称为导波层。上下两层折射率较低，分别称 为覆盖层和衬底层。 当衬底层和覆盖层材料折射率相等时，称其为对 称平板波导。
2Hy x 2
[k02n2 ( x) 2 ]H y
0
其试探解为：
Hy (x)
Bce p(xa) , x a
Bf cos(hx ),a x a
Bseq(xa) , x a
然后，根据边界条件，x=a,-a处，H y , Ez 分量连续
tan(ha )
n
2 f
ns2
q h
tan(ha )
2 Lm
i2rLm
26
最后回到有效折射率的求解：
tanh(k1a)
k21 k1 2
,
k1 2 k21
(iki )2 2 ik02 (i 1,2)
neff k0
k0
c
2 ()
2 p
2 i
2 m1