iz
2 Ey x
2
k 2 2 Ey 0


可以写出3个区域的亥姆赫兹方程：
2E y x 2 Ey
2
2 2 k0 nc 2 E y 0


x 2 Ey
2
2 k0 n 2 2 E y 0 f


11
x
2
2 k0 ns2 2 E y 0
14
以上是以电磁理论为基础，讨论了一般情况下的平板波导，并且推 出了其特征方程. 但在很多情况下，系统使用的是对称平板波导，即涂覆层和衬底层 的折射率相等，使用的是相同的材料
为了简便起见，这里只讨论对称TM模的求解，TE模求解过程与之相 似，就予以省略
根据麦克斯韦关系：n
r
15
由于结构上的对称性，决定了试探解TM波光场也是对称的。即：导 波层外e指数衰减，在导波层内是驻波场。这个驻波场不是奇对称就 是偶对称（一维有限对称深势阱的试探解类似）

由于亥姆赫兹方程和薛定谔方程具有相同的形式，先回顾一维对称 有限深势阱中电子的波函数:
对于有限深势阱的方程，其解不容易求出，但是其试探解的形式则相 对简单。 x
( x ) Ae ( x 0) ( x) C cos(kx) / D sin(kx)(0 x a)
12
( x) Be ( x a)
1 k 0 n12 2）/ 2 （ 2
TM Mode
其中：
p0 ( 2 k02 n02 )1/ 2
2 p2 ( 2k02 n2 )1/ 2
由于n0 ,n2都是低折率，n1为高折射率，所以还存在如下不等式
k 0 n0 (k0 n2 ) k0 n1
8
2.电磁理论
4
波矢量之间的关系：
| k | n1k 0
k0 n1 cos k0 n1 sin
E~e
i ( x z )
（重点）当只考虑x方向上光线传播时，可见光线总是在上下两表面反射 现假设一光线入射到下界面，发生全反射，然后又与上表面发生全反射， 再次回到下表面发生全反射。此时，此光线会与原先从下表面出发的光波 叠加在一起，发生干涉。并且两束相干光波的位相差为：
H y ( x)
H 然后，根据边界条件，x=a,-a处， y , Ez 分量连续
n2 q f tan(ha ) 2 ns h n2 p f tan(ha ) 2 nc h
n2 q n2 p f f 2ha m arctan( 2 ) arctan( 2 ) ns h nc h 这就是TM模的特征方程
主要内容
1.普通介质平板光波导 2.表面等离子体平板波导
1
光纤是一种很常见的介质光波导，其截面为圆形 ，但在集成光学中，人们更感兴趣的是在芯片上 集成平面光波导
图1.1 平板波导结构示意图 （由 覆盖层，导波层，衬底组成）
图1.2 条形波导结构示意图
2
平板波导由三层介质组成，中间层介质折射率最 大，称为导波层。上下两层折射率较低，分别称 为覆盖层和衬底层。 当衬底层和覆盖层材料折射率相等时，称其为对 称平板波导。
As e
q ( x a )
, x a
根据边界条件，在x=a,-a处，有 E y , H z连续（E y 和它的偏导数）
q h p t an(ha ) h t an( ha )
q p h (2a) m arctan( ) =a处利用 dx
可以得到
令
t an( 1a)
1 2 T 2 1
1a m arctan( ) T
16
对于奇对称的情况：
A sin( 1a)e 2 ( x a ) , x a
H y ( x)
A sin( 1 x),| x | a A sin( 1a)e 2 ( x a ) , x a
9
H z H y iE x y z H x H z iE y z x H y H x iE z x y

0 y
以上6式可化简为：
i0 H x
H y iE x z H x H z iE y z x H y iE z x
在x=a处利用
1 dH y ( x) dx
连续的边界条件
t an( 1a)
2 1 1 1 2 T
1 1a m arctan( ) T
17
surface plasmon polariton
表面等离子体是传播于介质与金属（银）界面上的电磁激 发，在垂直于界面的方向上呈指数衰减。金属中的自由电 子在外界电磁场的作用下相对于金属中的正离子发生相对 位移，带来电子密度的重新分布，从而在金属表面的两边 产生电场
2 2 2 那么介质与金属中的波矢关系可以表示为： (ikx ) k0
2 而在之前讨论的传统波导中波矢关系为： 2 k x 2 k0
如果要求表面等离子波导的特征方程和电场（磁场）分布，可以直 接改变波矢，带入之前的普通对称平板波导TM模的表达式。 下面以MIM结构进行说明
这就是TE模的特征方程
13
类似地，再研究TM模
2H y x 2
其试探解为：
2 [ k 0 n 2 ( x ) 2 ]H y 0
Bc e p ( x a ) , x a B f cos(hx ),a x a Bs e q ( x a ) , x a
对于偶对称情况：
Acos( 1a )e 2 ( x a ) , x a
H y (x)
A cos( 1 x),| x | a A cos( 1a )e 2 ( x a ) , x a
2 12 k0 1 2 2 2 2 2 k0 2
TE模表示电矢量的偏振方向 垂直于入射面，磁矢量的偏 振方向在入射面内 TM模表示电矢量的偏振方向 在入射面内，磁矢量的偏振 方向垂直于入射面
TE TM
2 n12 sin 2 1 n2 arc tan( 2 2 2 ) n1 n1 sin 1
n 2 n 2 sin 2 n 2 arctan 12 12 2 1 2 2 n2 n1 n1 sin 1
k1 2 k21
A cosh(k1a )e k 2 ( x a ) , x a
H y ( x)
A cosh(k1 x),| x | a A cosh(k1a )e k 2 ( x a ) , x a
- Asinh( k1a )e k 2 ( x a ) , x a
每一模式对应的锯齿光路和横向光场分布
6
对于特征方程中的 12 10 是上下界面处全反射所引起的相移，那 么具体可根据菲涅尔公式求出。
n cos1 n2 cos 2 rs rTE 1 n1 cos1 n2 cos 2 rp rTM n2 cos1 n1 cos 2 n2 cos1 n1 cos 2
20
MIM(金属-介质-金属)的结构图和光场图
金属涂覆层波导结构
两光场之间没有相互作用
21
会形成super mode
将 ik 取代之前普通对称平板波导特征方程和光场表达式中的 ，可得：
MIM结构偶对称TM模： MIM结构奇对称TM模：
t anh( 1a) k
1k2 2 k1
tanh(k1a)
E y
z E x E z i0 H y z x E y i0 H z x
假设：
E E(x, y)e -iz H H ( x , y ) e i z
Ey E y x
0 Hx
Hy
Ex
i0 H z H z iE y x
思路：金属的色散关系可基于经典模型，而无需用到量子力学的知识。 这是因为金属中具有很高的自由电子浓度，导致相邻电子能级之间非 常靠近。即使当金属结构尺寸小于几十个纳米时，仍不会出现能级分 立等量子效应。所以金属与电磁场之间的相互作用仍可以在经典电磁 理论的框架内通过麦克斯韦方程来解释。
19
表面等离子波的波矢之间存在如下关系：
2 k x metal
2
2
c2
已知，金属的相对介电常数为复数。在光波段，实部是个较大的负 数，虚部是较小的正数。 根据物理图像，在X方向上的波矢主要表示的是损耗，所以k x 是一个 虚数。而沿表面等离子波传播方向上的波矢 是个复数，实部表示 随着光波的传播，位相的改变，而其虚部同样表示传输损耗。
10
i H x
i H y Ez x E i E x z i0 H y x
亥姆赫兹方程：
先研究TE模
2 ( x, y, z ) k 2 ( x, y, z ) 0 2 2 2 x 2 y 2 z 2
2
Ey Ey e
2h 212 210
5
如果相干相长，即满足谐振条件，则此入射角对应的光 线（模式）可以被导波所接受
2h 212 210 2m
物理意义：在波导厚度h确定的情况下，平板波导所能 维持的导模模式数量是有限的，此时m只能取有限个整 数值，这个方程也称作平板波导的本征方程
D 0 B 0 B t D H t E
B 0 H 0 H 0e i ( k r t ) D E E0e i ( k r t )
E -i0 H H i E
E z E y i0 H x y z Ex E z i0 H y z x E y E x i0 H z x y
以上相移公式是在n1 n2介质界面上推倒得到，如果是在n0 n1介质界面，只需将n2换成n0