微专题__垂径定理有关的辅助线
一 连半径构造直角三角形
(教材P78作业题第2题)
如图1，在⊙O 中，半径OC ⊥AB 于点D .已知⊙O 的半径为2，AB ＝3，求DC 的长(精确到0.01)．
图1 教材母题答图
解：如答图，连结OA .
∵OC ⊥AB ，∴AD ＝12AB ＝12×3＝32，
∴OD ＝OA 2
－AD 2
＝22
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫322
＝72，
∴DC ＝OC －OD ＝2－
7
2
≈0.68. 【思想方法】 求圆中的弦长或其他线段长时，通常连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解．
[xx·呼和浩特]如图2，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为M ，若AB ＝12，OM ∶
MD ＝5∶8，则⊙O 的周长为( B )
A ．26π
B ．13π
C.96π5
D.3910π5
图2 变形1答图
【解析】 如答图，连结OA ，设OM ＝5x ，MD ＝8x ，∴OA ＝OD ＝13x ，又∵AB ＝12，由垂径定理可得AM ＝6，∴在Rt △AOM 中，(5x )2＋62＝(13x )2
，解得x ＝12，∴半径OA ＝132，根据周长
公式C ＝2πr ，∴⊙O 的周长为13π.
如图3，已知⊙O 的半径为5，点A 到圆心O 的距离为3，则过点A 的所有弦中，最
短的弦长为( C )
图3
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ＝8 cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则
AC 的长为( C )
A ．2 5 cm
B ．4 5 cm
C ．2 5 cm 或4 5 cm
D ．2 3 cm 或4 3 cm
【解析】 如答图，连结AC ，AO .
∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ， ∴AM ＝12AB ＝1
2×8＝4(cm)，OD ＝OC ＝5 cm.
当点C 位置如答图①所示时， ∵OA ＝5 cm ，AM ＝4 cm ，AB ⊥CD ， ∴OM ＝OA 2
－AM 2
＝52
－42
＝3(cm)， ∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)， ∴AC ＝AM 2
＋CM 2
＝42
＋82
＝45(cm)；
变形3答图
当点C 位置如答图②所示时，同理可得OM ＝3 cm ， ∵OC ＝5 cm ，∴MC ＝5－3＝2(cm)．
在Rt △AMC 中，AC ＝AM 2
＋MC 2
＝42
＋22
＝25(cm)．故选C.
如图4，用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为( B ) A.
2－12a B.2－24
a C ．(2－1)a
D ．(2－2)a
【解析】 从题目中很容易看出桌布刚好覆盖正方形桌子的桌面，桌子的边长为2
2
a ，用直径a 减去桌子的边长刚好为2x 的长度，∴x ＝2－2
4
a .故选B.
图4 图5
如图5，一块破残的轮片上，点O 是这块轮片的圆心，AB ＝120 mm ，C 是AB ︵
上的一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，CD ＝20 mm ，则原轮片的半径是__100__mm.
如图6是某风景区的一个圆拱形门，路面AB 宽为2 m ，净高CD 为5 m ，则圆拱形门所在圆的半径为__2.6__m.
图6 变形6答图
【解析】 如答图，连结OA . 在Rt △OAD 中，AD ＝1
2
AB ＝1(m)．
设⊙O 的半径为R (m)，则OA ＝OC ＝R (m)，OD ＝(5－R ) m ， 由勾股定理，得OA 2
＝OD 2
＋AD 2
， 即R 2
＝(5－R )2
＋12，解得R ＝2.6.
如图7，⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在这个三角形的高线AD 上，AB ＝10，BC ＝12，求⊙O 的半径．
图7 变形7答图
解：如答图，连结OB .
∵AD 是△ABC 的高线，△ABC 外接圆的圆心在AD 上，∴BD ＝1
2
BC ＝6.
在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2
－BD 2
＝100－36＝8. 设圆的半径是R ，则OD ＝8－R .
在Rt △OBD 中，由勾股定理，得R 2
＝36＋(8－R )2
， 解得R ＝254.即⊙O 的半径为25
4
.
二 作圆心到弦的垂线巧解题
教材P78作业题第6题)
已知：如图8，在⊙O 中，弦AB ∥CD .求证：AC ︵＝BD ︵
.
图8 教材母题答图
证明：如答图，过点O 作OE ⊥AB ，交⊙O 于点E ， ∵AB ∥CD ，∴OE ⊥CD ，则AE ︵＝EB ︵，CE ︵＝ED ︵
， ∴AE ︵－CE ︵＝EB ︵－ED ︵，即AC ︵＝BD ︵.
【思想方法】 当圆中出现弦时，通常作圆心到弦的垂线，或再连半径构造直角三角形，可通过垂径定理或勾股定理解题．
如图9，矩形ABCD 与⊙O 相交于点M ，N ，F ，E ，若AM ＝2，DE ＝1，EF ＝8，则MN 的长为( C ) A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
图9 变形1答图
【解析】 如答图，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，交CD 于点G ，则MH ＝HN ，EG ＝GF ， ∵四边形ADGH 是矩形，∴AH ＝DG . ∵EG ＝1
2EF ＝4，∴DG ＝DE ＋EG ＝1＋4＝5，
∴AH ＝5.又∵AH ＝AM ＋MH ＝2＋MH ＝5，
∴MH ＝3，则MN ＝2MH ＝2×3＝6.故选C.
[xx·金华]如图10，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为( C ) A ．10 cm B ．16 cm C ．24 cm
D ．26 cm
图10 变形2答图
【解析】 如答图，在Rt △OCB 中，OC ＝5 cm ，OB ＝13 cm ，根据勾股定理，得BC ＝OB 2－OC 2
＝132
－52
＝12(cm)．∴AB ＝2BC ＝24(cm)．
[xx·西宁]如图11，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝ 2，BP ＝ 6，∠
APC ＝30°.则CD 的长为( C )
A.15
B ．2 5
C ．215
D ．8
图11
变形3答图
【解析】 如答图，作OH ⊥CD 于H ，连结OC ， ∵OH ⊥CD ，∴HC ＝HD ， ∵AP ＝2，BP ＝6，∴AB ＝8， ∴OA ＝4，∴OP ＝OA －AP ＝2， 在Rt △OPH 中，∵∠OPH ＝30°， ∴OH ＝1
2
OP ＝1，
在Rt △OHC 中，∵OC ＝4，OH ＝1，
∴CH ＝OC 2
－OH 2
＝15， ∴CD ＝2CH ＝215.
如图12，⊙O 的弦AB ，CD 反向延长交于点P ，AB ＝CD .求证：OP 平分∠BPD .
图12 变形4答图
证明：如答图，连结OB ，OD ，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥CD 于点N ， 则由垂径定理，得BM ＝12AB ，DN ＝1
2CD .
又∵AB ＝CD ，∴BM ＝DN .
由勾股定理，得OM 2
＝OB 2
－BM 2
，ON 2
＝OD 2
－DN 2
. ∵OB ＝OD ，BM ＝DN ，∴OM ＝ON . 又∵OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴OP 平分∠BPD .
如图13，有一石拱桥的桥拱是圆弧形，正常水位下水面宽AB ＝60 m ，水面到拱顶距离CD ＝18 m ，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m 时需要采取紧急措施，当水面宽
MN ＝32 m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
图13 变形5答图
解：不需要采取紧急措施．理由：
设OA ＝R (m)，在Rt △AOC 中，AC ＝1
2AB ＝30(m)，OC ＝(R －18) m.
由勾股定理，得OA 2
＝AC 2
＋OC 2
， 即R 2
＝302
＋(R －18)2，解得R ＝34. 如答图，连结OM ，设DE ＝x (m)．
在Rt △MOE 中，ME ＝1
2MN ＝16(m)，OE ＝(34－x )m.
由勾股定理，得OM 2
＝ME 2
＋OE 2
， 即342
＝162
＋(34－x )2，
解得x 1＝4，x 2＝64(不合题意，舍去)，∴DE ＝4 m.
∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施．。