0
l
(d)
将上两式相减得

2 i

2 j
AYY dx
l 0 i j
d d 2Yi Y j EJ 2 dx dx
d 2Y j dY j d 2Y j d 2Yi dYi d EJ 2 EJ 2 EJ 2 Yi dx dx dx dx dx dx 0 0
图3-24
Tmax U max
(a)
计算最大势能和最大动能必须要知道系统的振型曲线Y(x)，但对多自由度系统智能 给出近似的振型曲线。雷利提出可用系统的静挠度曲线来近似系统一阶主振型。 工程实践证明，这是一个很好的近似。用能量法求多自由度系统固有频率的方法 也称之为雷利法(Rayleigh’s method)。对于2阶以上的振型，我们很难给出与之相 近的曲线。所以雷利法一般只用于计算系统的基频。用该法仅计算一次便可得到 工程上满意的结果，故无需多次迭代。
(c) (d)
其最大速度为
y1 Yik t max
Ti max U i max 1 miYi 2k2 2 1 mi gYi 2
各质量的最大动能及最大势能为 (e)
i 1, 2,
(f)
据能量守恒有
1 2 1 k miYi 2 g miYi 2 2
M k
2
AY x
n n
k
(3-37)
式中k为计算截面，于是有

式中 W
J min h
Mk W
为叶片截面抗弯模量。如前所述，叶片截面的危险点在后缘点，
由此得变截面叶片的固有频率
k2
g miYi
m Y
2 i i
(3-27)
在机械振动理论中，有雷利商式
2
Y EY Y MY
(3-28)
上两式的区别在于3-28式振型可取相对值，而3-27式中 Yi 必须用系统的静挠度值， P mi g 不能用相对值。令 ，当 P Y K Y按一定比例变化时，3-27式中的 i ，有 P i mi g 并没有按相同的比例变化，所以该式中 Yi 只能取系统静挠度的绝对数值。 现在求变截面叶片固有频率问题便转化为求在集中质量作用下梁的静挠度问题。 现用直接积分法来求变截面叶片的静挠度。以上已推出
6.717
0.6360
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
各截面面积A，主惯性矩J，长度
1 2
6.343
0.5318
3
6.256
0.4731
4
6.208
0.4328
5
6.1085
0.3981
6
5.665
0.3311
7
5.212
0.2618
8
5.07
0.2283
9
4.883
0.2024
10
4.65
0.1745
6.562
ai

0
AY x Yi x dxdx
(3-35)
Yi1 x Y x a1Y1 x aY i i x
(3-36)
该法需要较多的迭代次数才能取得较好的结果。一般很少用此法求高于3阶的固有 频率。现在较新的求叶片固有频率的方法有传递矩阵法（Prohl法）、有限元法和有 限差分法。
1 Y E 0 0 Jk
2
k
k
AY k x
n n k k
k
k
4
式中k为计算截面。如以i表振型阶次，j表迭代次数，上式可重写为
1 Yi , j 1 E 0 0 Jk
2
k
k
AkYi, j ,k x
n n
4
对上式进行迭代，如前后两次计算结果 Yi , j Yi , j 1 相当接近，则认为已得到满意结果， 可停止计算。
l 2 d dYi d 2Y j d 2Y j l d 2Yi d Y j Yi EJ 2 EJ 2 EJ 2 dx 2 0 d x d x d x d x d x d x 0 0 l l
2 j AYY i j dx
Y1 , Y2 , m1 , m2 , 为集中质量，
为相应集中质量作用截面的静挠 度。如忽略阻尼，变截面叶片自 由振动可看成是保守系统。在保 守系统中机械能量守恒的。叶片 在振动的每一瞬间，其能量有两 种形式，为势能U和动能T，而 U+T=const，在振动到最大振幅 时，系统动能为零，具有最大势 能Umax，当振动到平衡位置时， 系统势能为零，具有最大动能 Tmax，据能量守恒，有
等，将其离散为作为振型初始值，所假设的振型曲线必须满足叶片的变形几何边界 条件。对叶片自由振动有 q 2 AY 可改写为
d2 d 2Y 2 EJ AY 2 2 dx dx
2
(3-30)
q AY 为惯性力集度。出于同 这里Y为叶片某阶主振型，ω 为相应固有频率， 样的理由对3-30是也仅能进行数值积分。将叶片分为n段，以根部为0截面，叶顶为 n截面，将振型初始值Y(x)及A(x),J(x)的相应离散值代入上式，积分四次，便可以 求出一阶振型曲线的第一次近似值。
4 2 x E 4 2 Z 1.7 2.187 107 102 2090.3rad/s 3 7.75 10 123718.26
f 332.7Hz 2
问题2：计算叶片的一阶弯曲振动相对动应力 计算见下表，本例只计算背弧顶点B的相对弯曲动应力
3.二阶固有频率的计算 变截面叶片二阶和二阶以上固有频率计算的困难在于：很难找到相应振型的较准确 的近似曲线，一般所取的振型初始值误差较大。以二阶固有频率计算为例，设所去 的初始振型曲线为Y(x),则Y(x)可表示为n个主振型的线性组合（如叶片分为n段） 初始振型Y(x)中所包含的高于二阶的振型成分，其值相对于 a2Y2 x 可略而不计， 但Y(x)所包含的一阶主振型成分却不可略去，可近似认为
四、叶片相对弯曲振动应力及动频计算
1.叶片相对弯曲振动应力 由于主振动的相对性，这里所说的弯曲动应力也是相对值。 由3-30式
d2 d 2Y 2 EJ AY 2 2 dx dx
M
l
积分两次可得弯矩M的相对值为
x

l
x
2 AYdxdx
k 2
式中数值积分得
l
2 l dY j d 2Yi d 2Yi d Y j EJ 2 EJ 2 dx 2 0 d x d x d x d x 0 0
(c)
同理，用Yi乘b式并在全梁进行分部积分，得
d 2Y j d2 EJ 2 dx 0 Yi dx 2 dx
Y x a1Y1 x a2Y2 x anYn x
(3-31)
Y x a1Y1 x a2Y2 x
(3-32)
可利用主振型的正交性消去初始振型中的一阶成分。具体做法是将3-32是两端同乘以
AY1 x 并沿全叶高积分 l l l 2 AY x Y x d x a Y x d x a 1 1 1 2 AY 1 x Y2 x dx
例题：某压缩机一级动叶片叶高l=17cm，材料为2Cr13，E 2.187 10 Kg / cm
6
2
7.75 103 kg / cm3 将叶片等分10段，每段集中质量作用在段中，根部截面下标
为0，视为固定端，计算模型图示如下 Q0 M0 l/10
0 A (cm2) J (cm4)
d2 d 2Y EJ 2 q 2 dx dx
(3-29)
因变截面叶片的截面变化规律A(x)及主惯性矩变化规律J(x)很难用解析式表达，因 此对上式只能进行数值积分。
2.振型迭代法
x 可以直接假设一个近似的一阶主振型曲线如 Y x l
2
x Y x 1 cos 2l
2.主振型的正交性
叶片的不同阶的振型之间也存在着正交性，在这里我们把叶片作为连续弹性体， 故将表现为积分形式。 设Yi x , Yj x 分别为对应于i , j 的主振型函数，据上节讨论必有
d 2Yi d2 2 EJ AYi i 2 2 dx dx
如计算出各集中质量点处的静挠度为Y1 , Y2 , 。设叶片的振动是简谐的，各集中质 量的运动可有下式表示 yi ( x, t ) Yi x sin k t k (b) 式中 k 是叶片横振动的固有频率， k 为初相位，各质量点处的速度为
yi Yi x k cos k t k t
d 2Y j d2 EJ 2 j AY j 2 2 dx dx
用Yj乘a式并在全梁分部积分，可得
d l d 2Yi d 2Yi d2 EJ 2 dx Y j d EJ 2 0 Y j dx 2 0 dx dx dx
0.6011
x (cm)
1.7
1.7
1.7
1.7
1.7
1.7
1.7
1.7
1.7
1.7
1.7
x 问题1：设初始振型为 Y x ，用振型迭代法计算变截面叶片的一阶固有频率。 l
2
4 2
16 E 16 E (Yi , j 1,n ) Z 2 4 x 2 x 4
x dx
(3-33)
将比例常数 a1 代入3-32式得