第十二章 数项级数1 级数问题的提出1.证明：若微分方程"'0xy y xy ++=有多项式解2012,n n y a a x a x a x =++++则必有0i a i n = ( =1,2,,) . 2．试确定系数01,,,,,n a a a 使0n n n a x ∞=∑满足勒让德方程2(1)"2'(1)0.x y xy l l y --++=2 数项级数的收敛性及其基本性质1．求下列级数的和： (1)11;(54)(51)n n n ∞=-+∑ (2)211;41n n∞=-∑(3) 111(1);2n n n -∞-=-∑ (4)121;2n n n ∞=-∑(5)1sin ,nn rnx ∞=∑||1;r < (6)1cos ,nn rnx ∞=∑|| 1.r <2．讨论下列级数的敛散性：(1)1;21n n =-∑(2)111();23n nn ∞=+∑ (3)1cos;21n n π∞=+∑ (4)11;(32)(31)n n n ∞=-+∑(5)1n ∞=3．证明定理10.2. 4．设级数1nn u∞=∑各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数1,nn U∞=∑即1112,n n n n k k k U u u u ++++=+++0,1,2,n =，其中001210,.n n k k k k k k +=<<<<<<若1n n U ∞=∑收敛，证明原来的级数也收敛.3 正项级数1．判别下列级数的收敛性：(1)n ∞=(2)2111;(21)2n n n ∞-=-∑(3)1n ∞= (4)1sin ;2nn π∞=∑(5)11nn a=+∑ (1);a >(6)1n ∞=(7)11();21nn n ∞=+∑ (8)11;[ln(1)]nn n ∞=+∑ (9) 12(1);2nnn ∞=+-∑ (10)12sin;3n nn π∞=∑(11) 1;!nn n n ∞=∑(12)1ln ;2nn n n∞=∑ (13) 1!2;nn n n n ∞=∑(14) 1!3;nn n n n∞=∑(15) 21;1()nn n n n∞=+∑ (16) 21(1)(1)(1)nnn x x x x ∞=+++∑ (0);x ≥(17)3353573579;11414714710⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅(18)ln 11;nn n∞=∑(19)ln 11;(ln )nn n ∞=∑(20)ln 1;2nn =∑(21)ln 11;3n n ∞=∑(22)1n ∞=(23)1n ∞=2．利用泰勒公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性： (1)11[(1)];n pn e n ∞=-+∑(2)3ln cos ;p n n π∞=∑(3)11ln;1p n n n ∞=--+∑(4)1n ∞=∑3．已知两正项级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑发散，问1max(,)nnn u v ∞=∑，1min(,)nnn u v ∞=∑两级数的收敛性如何？4．若正项级数1nn a∞=∑收敛，1n n a a +≤(1,2,)n =，求证lim 0n n na →∞=.5．设22221,,1,2,,1,1,2,,n ka n k k n a k k ⎧=≠=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩求证:(1)1nn a∞=∑收敛;(2) lim 0.n n na →∞≠6．讨论下列级数的收敛性:(1)2;(ln )pn n n =∑ (2)21;ln ln ln n n n n ∞=⋅⋅∑ (3)121(ln )ln ln n n n nσ∞+=∑(0);σ>(4)21.(ln )(ln ln )p qn n n n ∞=∑ 7．利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性: (1)1(21)!!!pn n n ∞=-∑();p 是实数(2)1(1)(1)1!n n n n βααα∞=++-∑(0,0).αβ>>8．设0,n a >且1limn n na l a +→∞=,求证n l =.反之是否成立?9．利用级数收敛的必要条件证明:(1) 2lim0;(!)nn n n →∞= (2) !(2)!lim0n n n a →∞=(1).a >10．设0n a ≥,且数列{}n na 有界,证明级数21nn a∞=∑收敛.11．设正项级数1nn a∞=∑收敛,证明1n ∞=也收敛.12．设lim n n a l →∞=,求证:(1) 当1l >时,11na n n +∞=∑收敛; (2) 当1l <时,11na n n ∞=∑发散. 问1l =时会有什么结论?4 一般项级数1．讨论下列级数的收敛性:(1)1(1);100nn n ∞=-+∑(2)1ln sin ;2n n n nπ∞=∑(3)11112(1);nn nn∞=+++-∑ (4)n n ∞=(5)1sin(n π∞=∑(6)(1)21(1);3n n n n -∞=-∑(7) 1(1)npn n∞=-∑(0);p > (8)11sin ;23nn n π∞=∑ (9)1cos 2(1);nn nn∞=-∑ (10) 21sin (1);nn nn ∞=-∑ (11)1(1)sinn n xn∞=-∑(0)x ≠; (12) 21(1);(1)n n nn∞=-+∑11;11n n +-++-+-+(14) 11nn n a =+∑(0);a > (15) 11sin();n n n n ∞=+∑ (16) 21sin sin .n n n n ∞=∑ 2．讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛:(1) 1(1);n n n x ∞=-+∑ (2) 1sin(2)!n n x n ∞= ;∑ (3)1sin n nxn ∞=∑(0);x π<< (4)1cos pn nxn ∞=∑(0);x π<< (5) 1(1)1np n n n ∞=-+∑(0);p >(6) 2(1)[(1)]nn pn n ∞=-+-∑(0);p > (7)11(1);n p n nn∞+=-∑(8)2112sin (1);n n n n xn∞-=-∑ (9)1(),nn nx a ∞=∑lim 0;n n a a →∞=>(10)1(1)nn n r ∞=-∑(0);r >(11)1!();nn x n n ∞=∑(12) 1ln(1);p n n =+∑(13)1n n ∞=(14) 1sin 4.sin 4p n n n n ππ∞=+∑ 3．利用柯西收敛原理判别下列级数的敛散性:(1) 2012,||1,||n n n a a q a q a q q a A +++++<≤ (0,1,2,);n =(2) 111111.23456+-++-+4．求证:若级数1nn a∞=∑(0)n a ≥收敛,则级数21n n a ∞=∑收敛.但反之不成立,请举出例子.5．若级数1n n a ∞=∑收敛,且lim 1nn nb a →∞=,问是否能断定1n n b ∞=∑也收敛?研究例子1.nn n n a b a n ==+6．证明:若级数1()nn aA ∞=∑及1()n n b B ∞=∑都收敛,且n n n a c b ≤≤(1,2,)n =则级数1()n n c C ∞=∑也收敛,若级数()A 与()B 都发散,问级数()C 的收敛性如何?7．证明:若01n x n a n ∞=∑收敛,则当0x x >时,1n x n a n ∞=∑也收敛. 若01nx n a n ∞=∑发散,则当0x x <时,1nxn a n∞=∑也发散. 8．求证:若数列{}n na 有极限,11()nn n n aa ∞-=-∑收敛,则1n n a ∞=∑也收敛.9．求证:若11()nn n aa ∞-=-∑绝对收敛,1n n b ∞=∑收敛,则1n n n a b ∞=∑收敛.10．求证:若级数21nn a∞=∑和21nn b∞=∑都收敛,则级数2111||,),nn n n n n n n a a b a b n∞∞∞===+∑∑∑（ 也收敛.11．设正项数列{}n x 单调上升且有界,求证:11(1)nn n x x ∞=+-∑ 收敛.12．对数列{},{}n n a b ,定义11,nn k kk k k S a bb b +==∆=-∑,求证:(1) 如果{}n S 有界,1||nn b∞=∆∑收敛,且0()n b n →→∞,则1n n n a b ∞=∑收敛,且有11;n nn n n n a bS b ∞∞===-⋅∆∑∑(2) 如果1nn a∞=∑与1||nn b∞=∆∑都收敛,则1n n n a b ∞=∑收敛.13．设1nn a∞=∑收敛,且lim 0n n na →∞=,求证:11()nn n n aa ∞+=-∑收敛,并且111()nn n n n n aa a ∞∞+==-=∑∑14．下列是非题,对的请给予证明,错的请举出反例: (1) 若0n a >,则112233a a a a a a -+-+-+收敛; (2) 若0n a →,则112233a a a a a a -+-+-+收敛;(3) 若1nn a∞=∑收敛,则1(1)nn n a ∞=-∑收敛;(4) 若21nn a∞=∑收敛,则31nn a∞=∑绝对收敛;(5) 若1nn a∞=∑发散,则n a 不趋于0;(6) 若1nn a∞=∑收敛,1n b →，则1n nn a b∞=∑收敛;(7) 若1||nn a∞=∑收敛, 1n b →，则1n n n a b ∞=∑收敛;(8) 若1nn a∞=∑收敛,则21nn a∞=∑收敛;(9) 若1nn a∞=∑收敛,0n a >，则lim 0n n na →∞=.15．求下列极限(其中1p >) (1)111lim();(1)(2)(2)p ppn n n n →∞+++++ (2)122111lim().n n nn p p p ++→∞+++5 无穷级数与代数运算1．不用柯西准则,求证:如果1||nn a∞=∑,则1n n a ∞=∑也收敛.2．设1nn a∞=∑收敛,求证:将相邻奇偶项交换后所成的级数收敛,且具有相同的和数.3．求证:由级数11n n -∞=1+-++-+发散.4．证明:若1n n a∞=∑条件收敛,则可把级数重排,使新级数部分和数列有一子数列趋向于+∞,有一子数列趋向-∞.5．已知111ln 2n n H c n r n=+++=++,c 是欧拉常数,lim 0n n r →∞=,求证: (1) 111111ln 242222m m c r m +++=++; (2) 若把级数1111234-+-+的各项重排,而使依次p 个正项的一组与依次q 个负项的一组相交替,则新级数的和为1ln 2ln 2p q+. 6．求证:级数11(1)n n n +∞=-∑的平方(柯西乘积)是收敛的. 7．令0!nx n x e n ∞==∑,求证x y x y ee e +=⋅. 8．证明:若级数的项加括号后所成的级数收敛,并且在同一个括号内项的符号相同,那么去掉括号后,此级数亦收敛;并由此考察级数1(1)n n ∞=-∑的收敛性.。