三角函数的易错点以及典型例题与真题1.三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________；二倍角公式:_________________ 万能公式______________正切半角公式____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次。

万能公式：(1) (sinα)2+(cosα)2=1 (2)1+(tanα)2=(secα)2(3)1+(cotα)2=(cscα)2(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（证明：利用A+B=π-C ）同理可得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论：(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）2+(cosB）2+(cosC）2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）2+（sinB）2+（sinC）2=2+2cosAcosBcosC(9)设tan(A/2)=tsinA=2t/(1+t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z）tanA=2t/(1-t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z）cosA=(1-t^2)/(1+t^2) （A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2) k∈Z）2.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域是否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 3.在三角中，你知道1等于什么吗？（x x x x 2222tan sec cos sin 1-=+= ΛΛ====⋅=0cos 2sin4tancot tan ππx x 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；诱导公试：奇变偶不变，符号看象限）4.在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222等）5.你还记得三角化简题的要什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来）6.你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cos 2x=(1+cos2x)/2;sin 2x=(1-cos2x)/2 7.你还记得某些特殊角的三角函数值吗？ （41518sin ,42615cos 75sin ,42675cos 15sin -=︒+=︒=︒-=︒=︒） 8.你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(lr S r l 21,==扇形α) 9. 辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a, b 的符号确定，θ角的值由ab=θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用. 10.三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴、对称中心，取最值时的x 值的集合吗？（别忘了k ∈Z ） 三角函数性质要记牢。

函数y=++⋅)sin(ϕωx A k 的图象及性质： 振幅|A|，周期T=ωπ2, 若x=x 0为此函数的对称轴，则x 0是使y 取到最值的点，反之亦然，使y 取到最值的x 的集合为——————————， 当0,0>>A ω时函数的增区间为————— ，减区间为—————；当0<ω时要利用诱导公式将ω变为大于零后再用上面的结论。

五点作图法：令ϕω+x 依次为ππππ2,23,,2求出x 与y ，依点()y x ,作图 注意（1）ϕω+x 的整体化法思维求单调性、对称轴、对称中心、值域等。

（2）用换元法时，注意新的定义域围。

11.三角函数图像变换还记得吗？平移公式（1）如果点 P （x ，y ）按向量()k h a ,=→平移至P ′（x ′，y ′），则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=.,''k y y h x x （2） 曲线f （x ，y ）=0沿向量()k h a ,=→平移后的方程为f （x-h ，y-k ）=0 12.解三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2)余弦定理: (3)面积公式13.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值围及意义？①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值围依次是],0[],2,0[,2,0πππ⎥⎦⎤⎝⎛。

②直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角的取值围依次是]2,0(),,0[),,0[πππ。

③反正弦、反余弦、反正切函数的取值围分别是)2,2(],,0[],2,2[πππππ--。

14.三角函数易错点的典型例题（1）隐含条件例1．设πα<<0，21cos sin =+αα，则α2cos 的值为 。

错解：432sin -=α，∵πα220<<，∴472cos ±=α。

正解：∵0cos ,0sin <>αα且021cos sin >=+αα， ∴432παπ<<，∴232παπ<<，∴472cos -=α。

例1－1．已知π<≤=+x x x 0,137cos sin ，则=x tan 。

错解：512-或125-。

正解：512-。

例1-2.一组似是而非的问题①在ΔABC 中，53cos =A ，135sin =B ，求C sin 的值。

②在ΔABC 中，53cos =A ，135sin =B ，求C cos 的值。

③在ΔABC 中，54sin =A ，1312cos =B ，求C sin 的值。

①解∵ππ<<<<B A 0,0，∴54)53(1cos 1sin 22=-=-=A A ，1312)135(1sin 1cos 22±=-±=-±=B B ， ∴B A B A B A B A C sin cos cos sin )sin()](sin[sin +=+=+-=π，∴656313553131254sin =⨯+⨯=C ，或6533135********sin -=⨯+⨯-=C ， 又∵C 为三角形的角，∴0sin >C ，∴6563sin =C 。

②解：∵ππ<<<<B A 0,0，∴54)53(1cos 1sin 22=-=-=A A ，1312)135(1sin 1cos 22±=-±=-±=B B ，∴B A B A B A B A C sin sin cos cos )cos()](cos[cos +-=+-=+-=π，∴当1312cos =B 时，651613554131253cos -=⨯+⨯-=C ； 当1312cos -=B 时，6556135********cos =⨯+⨯=C ， ∵)cos(cos 13126556cos B B C -=-=<=π∴B C ->π，即π>+C B ， ∴6516cos -=C 。

注：舍去增解是难点，可利用单位圆中的余弦线段先作直观判断。

③解：∵ππ<<<<B A 0,0，∴53)54(1sin 1cos 22±=-±=-±=A A ，135)1312(1cos 1sin 22=-=-=B B ， ∴B A B A B A B A C sin cos cos sin )sin()](sin[sin +=+=+-=π， ∴656313553131254sin =⨯+⨯=C ，或6533135********sin =⨯-⨯=C 。

注：此题两解均成立。

若求C sin ，必为两情形之一：两解均成立或一解为负值；例2．已知方程01342=+++a ax x （a 为大于1的常数）的两根为αtan ，βtan ，且α、β)2,2(ππ-∈，则2tanβα+的值是 。

错解：21或－2。

正解：由0tan ,0tan <<βα知：022<+<-βαπ，∴2tanβα+的值是－2。

例2－1.已知θtan 和)4tan(θπ-是方程02=++q px x 的两根，则p 、q 间的关系是（ ） （A ）01=+-q p （B ）01=++q p （C ）01=-+q p （D ）01=--q p 答案：C 。

例2－2.已知30cot cot ,25tan tan =+=+y x y x ，则=+)tan(y x （ ） （A ）120（B ）150（C ）180（D ）200 答案：B 。

（2）综合应用题型时，注意考虑全例3.关于x 的方程0cot sin 2sin 2=-+θθθx x 的两根为α、β，且πθ20<<。

若数列1，)11(βα+，2)11(βα+，……，的前100项和为0，求θ的值。

错解：由韦达定理知：θαβθβαcos ,2sin -=-=+，∴θβαsin 2)11(=+，由0sin 21)sin 2(1100100=--=θθS 得21sin ±=θ，∵πθ20<<，∴6πθ=或65πθ=或67πθ=或611πθ=。

正解：（1）当1=q 与1≠q 时，等比数列的求和公式不同； （2）方程有解还应考虑△≥0。

∴611πθ=。

（3）去绝对值要注意分类讨论例4．若m =αcot ，)2,(ππα∈，则=αcos 。

错解：由αα22csc cot1=+解得2211sin m+=α， ∴2221cos m m +=α，∴22211cos m mm m +±=+±=α。

正解：22211cos mmm m +-=+±=α。

∵当0>m 时，α为第三象限角，0cos <α，当0<m 时，α为第四象限角，0cos >α，当0=m 时，0cos =α。

例4-1若x y A -=（定值），则sin sin x y -的最大值为 。

错解：sin sin 2cossin 2cos sin 222x y x y x yx y A +-+-==， ∴sin sin x y -的最大值为2sin A 。