❖ 1、保费
A
x
E(Z)
vt
0
fx(t)dt
et 0
t
px
xtdt
❖
2、Z的方差： V(z a ) E r (z2 ) E (z)2 2A x (A x)2
❖ 其中： 2Ax 0 e2tt px xtdt
例：设(x)投保终身寿险，保险金额为1元，利息力为
签单时其T的概率密度
1
f
x
(t
年末给付。
四、常见的险种
❖ 1、定期寿险 ❖ 2、终身寿险 ❖ 3、两全保险 ❖ 4、生存保险（以生存为给付条件） ❖ 5、递增型寿险 ❖ 6、递减型寿险
设：x 投保的年龄
❖ bt 保险金的给付值；
❖ Zt ❖ vt
保险金的给付现值； 折现函数
(x)
t
❖ 保险金现值函数 Zt=btvt
bt
❖ 保险金的随机现值 ZT=bTvT
t
pxxtdt ne2t 0
t
px
xtdt
例：已知
s(x)1 x 0x100i0.1
100
❖
求：
1） A
1 30
:10
2） Var(Z)
❖ 解： 1）
fx (t)
s(xt) 1 s(x) 100x
当： x30
1 fx (t) 70
A1 ＝10et 30:10 0
fx(t)dt
1 70
1 0et dt
❖ 保险金的期望现值 E(Z)
❖ 趸缴纯保费 = E(Z)
第一节 死亡立即给付的寿险趸缴纯保费
❖ 一、n年定期寿险趸缴纯保费
❖ 设： bt 1
0tn
保险金给付现值
ZbTvT vT vT
1、保险金给付的精算现值（期望现值） ：
❖。 E(Z)
n
0 Zf (t)dt
nvt
0
fx(t)dt
nvt
V(a Z) rE (Z2)E (Z)22A1 (A1 )2
x:n
x:n
❖ 其中：
n1
2A1 E(Z2) x:n
e q 2(k1) kx
k0
4、自然保费
❖ 当n=1时，有：
0
t
px
xtdt
net 0
t
px
xtdt
2、寿险趸缴纯保费
A ❖ 。
1
x :n
E(Z)
nvt
0
fx(t)dt
net 0
t
px
xtdt
3、Z的方差
❖ 。 V(a Z) rE (Z2)E (Z)2
2A1 (A1 )2
x:n
x:n
其中
：
2A1 x:n
E(Z2)
n 0
Z2
fx(t)dt
nv2t 0
A x:n1A x:n NhomakorabeaA
x
1 :n
Z的方差 Va(Zr)2Ax:n(Ax:n)2
3、延期m年的两全保险
❖。 m A x :n
m m nvttpx xtd tvm nm npx
vmmpx Axm:n
1
A x:nm
Ax:m
第二节 死亡年末付的寿险趸缴纯保费
❖ 以被保险人死亡为给付条件，保险金在死亡 年末给付的一种保险。
第三章
寿险趸缴纯保费
一、保费缴纳的形式
❖ 趸缴保费 一次性缴清的保费。 ❖ 均衡保费 分期缴纳的保费。 二、纯保费 ❖ 只考虑死亡给付，不考虑费用的保费。
三、保险金特点
❖ 1、支付的数量是确定的，但给付的时间不能 确定；
❖ 2、保险金的给付是在将来，签单时在现在； ❖ 3、保险金的两种给付：死亡立即给付；死亡
0
)2
三、、延期寿险的趸缴纯保费
❖ 1、延期m年的终身寿险趸缴纯保费
bt
0
1
tm tm
Z
0
v T
T m T m
保险金给付的精算现值为：
E(Z)
vt
m
fx(t)dt
vt m
t
pxxtdt
❖ 趸缴纯保费
m
Ax
vt
m
fx(t)dt
vt
m
t
pxxtdt
上式还可以表示为：
。 ❖ m A x 0 v ttp x x td t0 m v ttp x x tdt 1 Ax Ax:m
)
60
0 t 60
求： 1） A x 2） Var(z)
0 t 60
解：
A 1）
x
e 60 t
0
fx(t)dt
60et
0
1 dt 60
1 e60
60
。
2）
2Ax＝06 0e2t
1d t 60
1
e120 120
Va(zr)2Ax(Ax)2
1
e120 120
1 e6 ( 60
❖ 一、n年期定期寿险趸缴纯保费
❖ 设： bk1 1 (K=0、1、2… …n-1)
v Zbk1vk1
K1
❖ 保险金的精算现值： E(Z)E(vk1)
2、纯保费
n1
❖ 。
A1 E(Z) x:n
vk1 k qx
k 0
n1
vk1 k
pxqxk
k0
n1
vk 1
dxk
k 0
lx
。
❖ 。Z的方差：
❖
2）
2
10 Ax
e2t
10
fx(t)dt0.25e1.6
Va(z)r210Ax(10Ax)2 0.2e 5 1.60.1e6 2
四、n年期两全保险的趸缴纯保费
❖ 两全保险又称生死合险。是由死亡保险和生 存保险两种保险综合而成，被保险人在n年期 内死亡或活过n年期，保险人都要给付保险金， 这是一种即有保障功能，又有储蓄功能的保 险。
❖ 。如果设tms ,则：
mAx0 vm sm spx xm sds
vmmpx0vsspxm d xms s
vmmpx.Axm
mEx vmmpx 称为精算折现因子 。
❖ 2、延期m年的n年定期寿险的趸缴纯保费
A m
1
x:n
mnvt
m
t
px
xtdt
vmmpx
A1 xm:n
1
1
Ax:nm Ax:m
0
710
et
10 0
0.063
803
2） 2A310 ： 10 ＝0 10e2t fx(t)dt
❖。
1 10e2tdt
70 0
710 (21 )e2t
100.063803
0
Va (Z)r2A3 1:0 10(A3 1:0 10)20.055321
二、终身寿险趸缴纯保费
❖ 设： bt 1
❖ 保险金的精算现值：E(Z)0vt fx(t)dt
例(x)投保延期10年的终身寿险，保险金额为1元，死
亡立即给付，已知， 0.06 sx(t) e0.04t x 0
❖ 求：1） 10 A x
2） Var(z)
❖ 解：1） f x (t) sx(t)0.0e4 0.0t4
10Ax
et 10
fx(t)dt1 e 0 t0.0e4 0.0t4 d t0.4e 1
1、n年期生存保险
❖。
Z
0
v n
T n T n
保险金给付的期 望现值为：
E(z)vnnpx
❖ 生存保险的趸缴纯保费
A1 x:n
vn n px
2、n年期两全保险
❖ 保险金给付现值
Z
vT
v n
T n T n
❖ 保险金给付精算现值
E(Z)
1
E(Z1)E(Z2)Ax:n
vnn px
❖ 两全保险的纯保费