浅谈二阶导数在解高考函数题中的应用
河南省郸城县第三高中 胡友全 （邮编：477150）
在历年高考试题中，导数部分是高考重点考查的内容，在六道解答题中必有一题是导数题。

这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。

解决这类题的常规解题步骤为：①求函数的定义域；②求函数的导数；③求)('x f 的零点；④列出)(),(',x f x f x 的变化关系表；⑤根据列表解答问题。

而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。

若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。

本文试以2010年全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。

例1.（全国卷Ⅰ第20题） 已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f .
（1） 若1)('2++≤ax x x xf ，求a 的取值范围； （2） 证明：0)()1(≥-x f x . 原解答如下:
解（1）函数的定义域为（0，+∞），x
x x f 1ln )('+
= ，
11ln 1)('22++≤+⇔++≤ax x x x ax x x xf ， max )(ln ln x x a x x a -≥⇔-≥⇔ . 令,11)('ln )(-=
-=x x g x x x g 则
递减，
时，当递增；时，当)(,0)('1)(,0)('10x g x g x x g x g x <>><<
从而当1=x 时，1)1()(max -==g x g ， 故所求a 的范围是[-1,+∞﹚. 证明(2)由(1)知,01ln ≤+-x x ,则
① 10<<x 时，0)1(ln ln )(≤+-+=x x x x x f ； ② 0)111(ln ln )1ln (ln )(1≥+--=+-+=≥x
x x x x x x x x f x 时，.
综上可知，不等式成立.
对于（2）的证明，虽然过程简单，但思维难度大，对学生的观察能力和代数式的变形
能力要求较高。

我们可以运用二阶导数的方法加以证明：
证法二:令0)F ,0F ),()1()(min ≥≥-=x x x f x x F （只需证）（要证明. 因)(')1()(F'x f x x f x -+=）（
)1)(ln 1(1ln )1(x x x x x x +-++-+=
2)1(ln 2++
-=x
x x x ，
显然当1=x 时，0)('=x F ， 当10<<x 时，0)(',0ln ,21<<>+
x F x x
x ，
)(x F 在（0,1﹚递减；
当1>x 时，0ln ,21>>+
x x
x ，
)('x F 的符号仍不能判定，求二阶导数得 011ln 2)]'('[2
>+
+=x
x x F ，
从而)('x F 在1>x 时递增，
0)1(')('=>F x F ，)(x F 在[ 1,+∞﹚递增，
所以当1=x 时，0)1()(min ==F x F ， 故0)(≥x F 成立，原不等式成立.
例题2（2010年高考数学全国卷Ⅱ（22）小题）
设函数()1x
f x e
-=-．
（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1
x f x x ≥+；
（Ⅱ）设当0x ≥时，()1
x f x ax ≤
+，求a 的取值范围．
（原解答略）在原解答第（Ⅱ）问的解答中，用到了放缩代换，对考生的数学素质和解题能力要求很高，极少有考生能达到那样的要求.若用求二阶导数求解，则别有一番天地.
（Ⅱ）解法二：由题设1
)(,0+≤
≥ax x x f x ，
若0<a ，则当不恒成立时，1
)(,011+≤
<+-
>ax x x f ax a
x ；
若0)1)(1(1
(,01,0≤--+⇔+≤>+≥-x e ax ax x x f ax a x
）则.
令0)0(,)1)(1()(=--+=-g x e ax x g x 则，
0)(',1)1()('=-+-+=-x g a a ax e
x g x
， )12()]'('[ax a e
x g x
--=-,
∵0≥x ,
”），
时取“仅当从而时，当==
=≤≤-≤
≤∴2
1,0(0)]'('[,
0122
10a x x g a a
∴0)0(')('),0[)('=≤+∞g x g x g 内递减，在， ∴,0)0()(),0[)(=≤+∞g x g x g 内递减，在 即原不等式成立. 当,120]'('[,0122
1a
a x x g a a -=
=>->
得）令时，
从而当,0)]'('[120>-<
<x g a
a x 时，
此时0)0(')(')1
2,
0()('=>-g x g a a x g 内递增，在，
∴不恒成立内递增，在1
)(,0)0()()12,0()(+≤=>-ax x
x f g x g a a x g .
综上可知，2
10≤
≤a .
由以上两个例子可以看出，当需要判定函数的单调性而求导之后不能直接判定导数的符号时（导函数中常含有指数或对数形式），常可以考虑用二阶导数法。

建议高三教师在高考数学复习时，对学生适当加以针对此类题型的指导、训练。

针对训练：
1、（2010年新课标全国卷第（21）题）： 设函数2
()1x
f x e x ax =---。

（1）若0a =，求()f x 的单调区间；
（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围 2、（2008年湖南高考题改编）： 已知函数x
x
x x f +-+=1)1(ln )(2
2
，求函数)(x f 的单调区间。

参考答案： 1、解：（1）略.
（2）a e x f ax e x f x x 2)]'('[,21)('-=--=. ①当,1,122
1≥≥≤≤
x
e
x a a 得由时，
从而递增，在),0[)(',0)]'('[+∞≥x f x f
∴0)0(')('=≥f x f ，0)0()(),0[)(=≥+∞f x f x f 递增，在 ②时，当时，当a x a a 2ln 0,122
1<≤>>
,0)]'('[,2<<x f a e x
∴内递减，在区间)2ln ,0()('a x f ∴,0)0(')('=<f x f
∴0)0()()2ln ,0()(=<f x f a x f 内递减，在区间,不合题意.
综上可知2
1≤
a a 的范围是
2、解：()x f 的定义域是),1(+∞-.
（1）2
2
)
1(21
)1ln(2)('x x x x x x f ++-++=
2
2
)
1(2)1l n ()1(2x x
x x x +--++=
.
设x x x x x g 2)1ln()1(2)(2
--++= 则x x x g 2)1ln(2)('-+=.
x
x x g +-=
12)]'('[.
当）上是增函数；在（时，
,01)(',0)]'('[01-><<-x g x g x
当0>x 时，.0)(',0)]'('[）上为减函数，在（∞+<x g x g
所以),0(0)(',0)0('0)('≠<==x x g g x x g 所以处有最大值，而在
函数在)(x g ),1(+∞-上是减函数.
当;)(,0)(',0)0()(01递增时，x f x f g x g x >=><<- 当递减时，)(,0)(',0)0()(0x f x f g x g x <=<>.
所以，函数)(x f 的单调递增区间是)0,1(-，递减区间是),0(+∞.。