历年上海高考试题（圆锥曲线）班级 _________ 学号_____ 姓名___________1. （01上海）若双曲线的一个顶点坐标为（3, 0）,焦距为10,则它的标准方程为_______x t2 12. （02上海）曲线（t为参数）的焦点坐标是y 2t 13. （02上海）抛物线（y-1）2=4（x+1）的焦点坐标是_______24. （03上海春）直线y x 1被抛物线y 4x截得线段的中点坐标是 _____________ .5. （03上海理）在极坐标系中，定点A（1,—）,点B在直线COS sin 0上运动，2当线段AB最短时，点B的极坐标是_________________ .6. （04上海春）过抛物线y2=4x的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A、B两点，则以F为圆心、AB为直径的圆方程是_________________________7. （04上海）设抛物线的顶点坐标为（2,0）,准线方程为x= —1,则它的焦点坐标为___8. （04上海理）在极坐标系中，点M（4,）到直线I: p （2cos 0 +sin的距=4 d= ________ .32 29. （03上海）给出问题：F1、F2是双曲线- —=1的焦点，点P在双曲线上若点P到焦16 20点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1 —|PF2||=8，即|9—|PF2||=8,得|PF2|=1 或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.10. （04上海）教材中坐标平面上的直线”与圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是_____________________________________________ .11. （05上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是（2门5,0）,则椭圆的标2 2准方程是—L 180 2012. （05上海理）若双曲线的渐近线方程为y 3x，它的一个焦点是（门0,0），则双曲2线的方程是 _______ x 2 J 1913. （06上海文）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 （3,0），且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是 ________________________ .14. （ 06上海理）已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F （— 2j 3 , 0）,且长轴长是短轴长 的2倍，则该椭圆的标准方程是 __________________________________ .515. （ 06上海理）在极坐标系中，O 是极点，设点A （4, 一），B （5,———）,则厶OAB36的面积是 _________ .16. （07上海春）在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线y 2 4x 上的点P 到该抛物线的焦 点的距离为6,则点P 的横坐标x _____________抛物线方程是 ______________________________ 18. （06上海春）抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 （）A. （0,1）B.（1,0）C. （0,2）D. （2,0）219. （05上海）过抛物线 y 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（B ）A .有且仅有一条B .有且仅有两条C .有无穷多条D .不存在2x20. （01上海）设F 1、F 2为椭圆 一92 2xy21. （02上海春）已知 F 1、F 2为双曲线 — 21（a>0,b>0）的焦点，过F 2作垂直于x轴17. （ 07上海文）以双曲线1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的1的两个焦点，P 为椭圆上的一点.已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|> |PF 2|,求匹PF 2 的值.a b的直线交双曲线点P且/ PF1 F2=30。
，求双曲线的渐近线方向22. (02上海)已知点A( 3,0)和B( . 3,0)，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y x 2交于D、E两点，求线段DE的长。
2 2X y23. (03上海春)设F I,F2分别为椭圆21(a b 0)的左、右两个焦点•a b(1) 若椭圆C上的点A(1,3)到F I,F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程；2(2) 设K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；(3) 已知椭圆具有性质：若M , N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为K PM，K PN时，那么K PM K PN是2 2与点P位置无关的定值•试对双曲线笃当1写出具有类似特性的性质，并加以证明•a b24. ( 03上海文)如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽I是多少?(2)若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽I，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？(半个椭圆的面积公式为S -lh，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到40.1 米)25. (04上海春)已知倾斜角为45。
的直线I过点A(1, —2)和点B,B在第一象限,AB =3 2 .(1) 求点B的坐标;(4分)2x(2) 若直线I与双曲线C :丐y2=1(a>0)相交于E、F两点,且线段EF的中点坐标为a(4,1),求a的值;(6分)(3) 对于平面上任一点P当点Q在线段AB上运动时，称PQ 的最小值为P与线段AB的距离•已知点P在x轴上运动，写出点p(t,O)到线段ab的距离h关于t的函数关系式.(8分)126. (04上海文)如图,直线y= — x与抛物线2于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线占八、、-(1) 求点Q的坐标；(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B)的动点时，求△ OPC面积的最大值27. ( 05上海春)(1)求右焦点坐标是(2, 0)，且经过点(2, .2)的椭圆的标准方程;2(2)已知椭圆C的方程是仔1 (a b 0).设斜率为k的直线I，交椭圆C于aA、B两点，AB的中点为M•证明: 当直线I平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上；(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心［解］(1)［证明］(2)［解］(3)28. (05上海文)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y 轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线方程；⑵过M作MN丄FA,垂足为N,求点N的坐标；(06上海理)在平面直角坐标系 x o y 中，直线l 与抛物线y 2 = 2X 相交于A 、B 两点. (1) 求证： 如果直线l 过点T (3, 0),那么OA OB = 3”是真命题； (2) 写出(1 )中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.⑶以M 为圆心,MB 为半径作圆M.当K(m,O)是x 轴上一动点时，丫讨论直线AK 与圆 M 的位置关系.2 x29.( 05上海理)如图,点A 、B 分别是椭圆 一36 2y 201长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点.点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方，PA 丄PF.(1)求点P 的坐标;⑵设M 椭圆长轴AB 上的一点,M 至煩线AP 的距离等于 MB ，求椭圆上的点到点 M 的距离d 的最小值.30. (06上海春)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图：航2 2天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为 — 仝=1,100 25变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M(0, 64)为顶点的抛物线的实线部分 降落点为D(8,0).观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;(2)试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点 A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时, 应向航天器发出变轨指令？31. (06上海文)已知在平面直角坐标系 个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(1点为D(2,0)，设点A 1,丄.2(1)求该椭圆的标准方程;(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程;(3) 过原点O 的直线交椭圆于点B,C ，求ABC 面积的最大值。
两个焦点分别为 F i 、F 2.过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线 圆C 相交，其中一个交点为 M ...2, 1 • (1)求椭圆C 的方程；⑵设椭圆C 的一个顶点为 B(0, b)，直线BF 2交椭圆于另一点N ，求△ F 1BN 的面积.成的曲线称作果圆”，其中a 2 b 2如图，设点F 。
，F 1 , F 2是相应椭圆的焦点， A 1 ,(1 )若厶F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，求该2 2(2)设P 是果圆”的半椭圆每笃 1b cP 在点B 1, B 2或A 1处;(3)若P 是 果圆”上任意一点，求 PM 取得最小值时点 P 的横坐标.32. ( 07上海春)如图，在直角坐标系xOy 中,b 21 (a b 0)的左右(x < 0)上任意一点.求证：当PM 取得最小值时，2x33.(07上海文)我们把由半椭圆 —a2y b 2(x > 0)与半椭圆2y b 22 x 2c(x < 0)合轴的交点，M 是线段A 1A 2的中点.果圆”的方程;yx参考答案［解］(1)设 F2 (c,O)(c>O),P(c,yO),则在直角三角形 PF 2F 1中，/ PF I F 2=30 解法一：丨 F F 2 | =6| PF | ,黑訂_ 21应右K 即R2将c 2=a 2+b 2代入，解得X=2a 2. 解法二： | PF | =2 | PF ,由双曲线定义可知 | PF |- | PF | =2a 得 | PF | =2a. 21,潮⑴第1位聃工解金屮吕第注职工的奖金斫存-啊第3位职工的奖金烏（】-护, ” 1位职工的奖金y 扣- £）卜収［解］设点 C (x,y )，则 |CA| |CB| 2根据双曲线的定义，可知点 C 的轨迹是双曲线2 X 2a由 2a 2,2c | AB | 2、3,得a 21,b 22即 A( - 4,— 2),B(8,4),从而 AB 的中点为 M(2,1).卫Dm 陀1,b 20 ,• m 2 b 2 a 2k 2，即b 2 a 2k 2m ■ b 2 a 2k 21 1 由k AB ==—，直线AB 的垂直平分线方程 y —仁一(x — 2).22令 y= — 5,得 x=5, ••• Q(5, — 5) 1 2⑵直线OQ 的方程为x+y=O,设P(x,x 2— 4).8••• P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点，且P 不在直线OQ 上, ••— 4< x<4 3 — 4 或 4— 4<x < 8.•••函数y=x 2+8x — 32在区间［—4,8］上单调递增 •••当x=8时，△ OPQ 的面积取到最大值 30.2 2［解］(1)设椭圆的标准方程为 务 ^2a b解得b 4或b 2 (舍),(2)设直线I 的方程为y kx m ,y kx m则有兰yL 1，a 2b 2解得(b 2 a 2k 2)x 2 2a 2kmx a 2m 2•••点P 到直线0Q 的距离 d=x 1x 2 48——x 8J28x 32OQ1 -S △ OPCF—25OQd 亠 x 2168x 32 .a 2b 24，即椭圆的方程为x 2 b 2 42yb 2•••点(2,、2 )在椭圆上，•4 b 2 4由此得a 28，即椭圆的标准方程为1.与椭圆C 的交点A (X 1,%)、B (X 2,y 2).a 2b 22•点P 的坐标是(3,口)2 2⑵ 直线AP 的方程是x —、3y+6=0.|m 6|设点M(m,0),则M 到直线AP 的距离是 --------则 X-］ X 22a 2km b 2 a 2k 2' y 1y 2 kx 1 m kx 2 m2b 2m b 2 __0^7，••• AB 中点M 的坐标为a 2km ~2 2~2 , b a k.2b m~22~2b a k11分•••线段AB 的中点M 在过原点的直线 b 2 x a 2 k y13分(3)如图，作两条平行直线分别交椭圆于A 、B 和C 、D ，并分别取AB 、CD 的中点M 、N ,连接直线MN ;又作两条平行直线 (与前两条直线不平行)分别交椭圆于A 1、B 1和D 1，并分别取A 1B 1、C 1D 1的中点M 1、N 1，连接直线 M 1N 1，那4么直线MN 和M J N J 的交点O 即为椭圆中18分［解］(1)由已知可得点 A( — 6,0),F(0,4)设点 P(x,y),则 AP ={x+6,y}, FP ={x — 4,y},由已知可得2 2x- L 1 36 20(x+6)(x — 4)+y 2=023 .则 2x 2+9x — 18=0,x= 一 或x= — 6.由于y>0,只能x= 3,于是25「3iL=1(1)100 25椭圆上的点(x,y)到点M 的距离d 有9I —由于一 6< m<当x= 时,d 取得最小值• 152［解］(1)抛物线y 2=2px 的准线为x=--汙是4+-=5, A p=2.2 2•••抛物线方程为 ,=4x.(2) •••点A 是坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2),4 3 又••• F(1,0), • k FA = ;MN 丄 FA, • k MN =-,3 4、4 、3 、8 4 则FA 的方程为y= (x-1),MN 的方程为y-2=- x,解方程组得x= ,y=,3455一 8 4• N 的坐标(一，).5 5(1)由题意得，，圆M.的圆心是点(0,2),半径为2,当m=4时，直线AK 的方程为x=4,此时，直线AK 与圆M 相离. 4y= (x-m),即为 4x-(4-m)y-4m=0,4 m2 m 8d= J 2，令 d>2,解得 m>1.16 (m 4)•••当m>1时，AK 与圆M 相离; 当m=1时，AK 与圆M 相切; 当m<1时，AK 与圆M 相交.641由题意可知，0=a?64+, • a=-_、1 2 64•曲线方程为y=-x 2+.,又—6< m < 解得 m=2.d 2=(x — 2)2+y 2=x — 4X 2+4+20 —5x 2=4(x —纤+15,9 9 2当nmM 时，直线AK 的方程为圆心M(0,2)到直线AK 的距离 ［解］(1)设曲线方程为 2y=ax 2 64+ —7L=1(1)100 257 7(2)设变轨点为C(x,y),根据题意可知—6,9y=4或y=-(不合题意,舍去)••• y=4..... 9分4得x=6或x=-6(不合题意,舍去). • C 点的坐标为(6,4),……11分AC 2岳 BC 4,答：当观测点A 、B 测得AC 、BC 距离分别为2 •一 514分1)设过点T(3,0)的直线I 交抛物线y 2=2x 于点 A(x 1,y 1)、B(X 2,y 2).,直线I 的方程为x=3，此时，直线I 与抛物线相交于点y 2 2xo由得 ky 2 2y 6k 0y k(x 3)f1 21 2 又••• x 12y 1 ,x 2 2y 2，OA|OB综上所述，命题 如果直线l 过点T(3,0)，那么OA OB =3”是真命题;⑵逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点，如果OA OB =3,那么该直线过 点T(3,0).该命题是假命题.1例如：取抛物线上的点 A(2,2) , B( ,1),此时2直线AB 的方程为：y 2(x 1)，而T(3,0)不在直线AB 上;3说明：由抛物线 y 2=2x 上的点A (X 1,y 1)、B (X 2,y 2)满足OA OB =3，可得1 2 64 y=- — X + ----77 (2)得 4y 2-7y-36=0,A(3, 6 )、B(3, —、6 ).OA OB =3;当直线l 的钭率存在时，设直线l 的方程为y k(x 3)，其中 k 0, 4时，应向航天器发出变轨指当直线I 的钭率不存在时y°26y*2 3 ,xg y°2 才(y“2)2=3,或y1y2=2，如果y1y2= —6,可证得直线AB过点(3,0);如果y1y2=2，可证—6,2AB 过点(一1,0),而不过点(3,0).解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c= .. 3，则半短轴 2x 又椭圆的焦点在x 轴上，•椭圆的标准方程为 一4• △ ABC 的面积 S A ABC = 1|AB d得直线⑵设线段PA 的中点为 x=M(x,y)，点 P 的坐标是(x o ,y o ),X o 12x -1j y=1 y o 1 22由，点P 在椭圆上,得(2x° 4(2y1)2 1,2)2心1.⑶当直线BC 垂直于x 轴时,BC=2,因此△ ABC 的面积S S BC =1.•••线段PA 中点M 的轨迹方程是 (X 2当直线BC 不垂直于x 轴时，说该直线方程为y=kx ，代入 — 4y 2 1解得B(4k 22k21)，C(― 4厂12k),则BC4—-k 〔,又点 • 1 4k 2A到直线BC 的距离J k 2,b=1.y 2 12k 1 1 4k 2是S A ABC = 4k24k 14k2 14k4k2 12b 244由一^亠1,得S ^ABC <■ 2，其中，当k=—-时,等号成立•4k 212•I S A ABC 的最大值是、J 2 •所求椭圆方程为4［解法二］由椭圆定义可知(1)[解法一 ] I x 轴,F 2的坐标为 .2,2由题意可知 a 22 a1J b 2 1, 2,2ab 24, 2.MFj |MF 2 2a .由题意MF 2 MF 12a 1.又由Rt △ MF 1F 2可知(2a 1)22.2 2 解:（ 1）a 2，又 a 2b 2椭圆C 的方程为 直线BF 2的方程为y 2 x4F 1F 22，得 b 22J 1.22.x 、、2, 2七1, 2,2，F °(c, 0)， 得点N 的纵坐标为 F 1BN2、22分6分 8分10分14分F , 0，b 2，F 20，b 2 c 21, F 1F 22 b 2 c 22c 2212x〔AM | |MA 2| ,且B 1和B 2同时位于 果圆”的半椭圆-2a1( x > 0)上的情形即可.| PM |2最小值在x a 时取到，此时 P 的横坐标是a .a 2 (a c)综上所述，若 a w 2c ,当|PM |取得最小值时，点 P 的横坐标是；若a 2c ,当|PM |取得最小值时，点 P 的横坐标是a 或 c .和半椭圆 2 2 y x.221 (xw 0)上，b c所以, 由( 2 )知，只需研究 P 位于果圆”的半椭圆所求果圆”方程为4x 2 y 27(2)设 P(x, y)，则(X > 0),-x 2 1 (x w 0).3,2| PM \a c ""2b 2 cx 2(ac)2 4b 2,c w x w 0 ,b 2 1— c|PM |2的最小值只能在c 处取到.即当PM 取得最小值时,P 在点B i , B 2或A 处.(3)2y1 (x > 0) b此时P 的横坐标是2 /t a (a当x2 2c 22cXaa 2 (a 2c 2a 2(a 2c)2c 2即a < 2c 时, c)b 2|PM (a c)2 42 2a (a c) |2的最小值在X° a ，即a 2c 时，由于|PM |2在x 4c 2a 2(a c) e”时取到,2a 时是递减的，|PM |的。