Aˆ Bˆu(x) BˆAˆ u(x) 0
若两算符对易，则二力学量同时有确定值。
基本知识
3.本征函数
Aˆ a
若某一力学量A的算符 Aˆ作用于某一状态ψ后，
等于一常数a乘以ψ，则力学量A有确定值,a是
算符 的本征Aˆ 值,ψ是算符 的本Aˆ征函数(或 本征态)， ψ=aAˆψ称为本征方程。
Aˆ a
基本知识
2.算符：
微观体系的每一个可观测力学量(如能量 、 动量、角动量、坐标、时间等)都与一个线性厄 米算符相对应。
线性算符 Fˆ[c1u1x c2u2 x cnun x] c1Fˆu1x c2Fˆu2 x cnFˆun x
厄米算符
u1*Fˆu2dx u2 (Fˆu1)* dx
算符对易
[ Aˆ, Bˆ] 0
则体系处于这个状态 时没有确定值，可计 算平均值。
a a (r)ˆ (r)d (r) (r)d
a a *(r)ˆ (r)d (是归一化的)
基本知识
4.Schrodinger方程
在量子力学中，决定微观体系运动状态的是定态Schrodinger 方程:
Hˆ (r) E (r) [ 2 2 V (r)] (r) E (r)
p mｖ h ｖ h
m
mn 1.675 10 27 kg
（1）电子：
ｖ
h me
6.626 1034 Js 9.111031kg0.1109 m
Ee 1 mｖ2 6.626 1034 Js 2 / 2 9.111031 kg 0.1109 m 2 2
2.41 1017 J
Pe h / 6.6261034 Js / 0.1109 m 6.631024 Js / m
Aˆ i ai i
a
Ci 2ai Ci 2
n i 1
ci
2
ai
基本知识
三.简单应用
1.一维箱中粒子
x 2 sin nx x
aa
2.三维箱中粒子 三个方向一维箱的叠加。
E
nx2
h2 8ma
2
(xyz) 8 sin nx x sin ny y sin nz z
abc a
b
c
E
(
nx2 a2
优选第一章量子力学基础习题
基本知识
• 3.电子衍射：电子照射到晶体表面上时发生衍射，能够在 屏幕上获得明暗相间的环纹。 说明电子不仅具有粒子性，还具有波性。
Bragg公式： 2 d sin =n
：衍射线与晶面之间的夹角，衍射角；
：2，反射光与入射光方向的夹角；
d：晶体的面间距
n：衍射级数 ：电子的De-Broglie波长
基本知识
二.量子力学的五个基本假定
1.波函数： 是体系中所有粒子坐标的函数， 也是时间的函数。
(xyzt)= (x1y1z1,x2y2z2,t）
在化学中所有涉及的波函数均为定态波函数。 定态：几率密度不随时间t改变而变化。 物理意义：∣(r,t)∣2＝ * 在原子、分子等体系中，代表原子轨道或分子轨道，将* 称为几率密度，即通常所说的电子云。
（2）中子:
En 1.311020 J
Pn 6.631024 Js / m
习题1.9 试求下列粒子的de Broglie波长
（1）能量为100eV的自由电子。
（2）能量为0.1eV的自由电子。 （3）能量为0.1eV，质量为1g的粒子。
（1）Ee 100eV E P2 / 2m
h / P h / 2mE
解:由爱因斯坦的光子学说 （1）
E mc 2 pc h .c 6.626 10 34 J.s 2.998 10 8 m / s 3.31 10 19 J
600 10 9 m
P mc h 6.626 10 34 Js 1.10 10 27 Jsm 1
600 10 9 m
m h
6.626 10 34 J.s
2m
实质是能量算符的本征方程。
解法：一维箱 精确求解 三维箱 分离变量法 平面刚性转子
基本知识
5.态叠加原理
若Ψ1、 Ψ2、••• Ψi、••• Ψn为某一微观体系的可能状态，由 它们线性组合也是该体系的可能状态。
n
c11 c2 2 cn n ci i i 1
式中Ci是任意常数，数值的大小反应了Ψi对Ψ的贡献 的大小。
• Cs：λλ＝400nm λCs＝600nm求v。
c
E
1 mｖ2 2
h
h o
hc
h c
o
hc
1
1
o
1
ｖ
2hv v0 /
m
2 6.626 1034
3.0
108
400
1 109
1 600 109
2
6.03105 ms1
习题பைடு நூலகம்
1.8 求波长为0.1nm的电子和中子的动能和动量。
me 9.11 10 31 kg
1
6.6261034 Js /(2 9.1101031kg100eV 1.6021019 J / eV )2
1.231010 m 123pm
（2）0.1eV的自由电子
n 9.04 10 11 m 90.4 pm
(3) 0.1eV, 1g的粒子
1.17 1022 m
习题
1.10 用速度ν＝1×109 cm/s的电子进行衍射试验,若所用晶体粉末MgO的面间 距离为242pm,晶体粉末离底板距离为2.5cm,求第2条和第3条衍射环纹的半径.
3.68 10 36 kg
c 600 10 9 m 2.998 10 8 m / s
（2） 0.1nm 11010 m
E 1.991015 J
P 6.631024 Jsm1 m 2.21 10 32 kg
习题
• 1.3计算波长λ＝400nm的光照射到金属铯上，金属铯所放 出来的光电子的初速度。已知铯的临阈波长为600nm。
h p
h mｖ
基本知识
波性 粒子性 二象性
光与实物粒子的波粒二象性
光
c
E mc2 p mc
E h
p h
u
实物粒子 u：实物粒子 波的传播速度
E 1 mｖ2＋V( r ) 2
p mｖ
v：实物粒子 的运动速度
E h
p h
当粒子V(r)=0时
h 1 mｖ2；h u 1 mｖ2
2
2
mvu 1 mｖ2；ｖ＝2u 2
n
2 y
b2
nz2 c2
h2 )
8m
立方箱：简并态：能量相同的不同状态； 简并度：能量相同的不同状态数。
3.刚性转子（平面）
“生活远不止意味着拥有许多 财富，而是应当对获取成功 过程中自己的所作所为与成 功的结果同等重视”
——诺特丹大学·商学院
习题
1.2 分别计算红外光λ＝600nm， X射线λ＝0.1nm的一个光子的能量、动量和质量。