第十二章全等三角形小结导学案
一、学习目标：
1. 复习全等形与全等三角形的概念、全等三角形的判定定理，以及角平分线的作图方法和角平分线的性质等知识，建立
知识系统；
2. 使学生总结寻找全等三角形及其全等条件的方法、归纳常见辅助线的作法，使学生掌握分析问题的方法，提升解题能
力。
二、学习重点、难点：
学习重点：将所学知识科学地组织起来，将其纳入已有的知识结构中。
学习难点：提升分析问题、解决问题的能力。
三、本章知识结构图：
四、回顾与思考：
1、请你举一些生活中的全等形。
2、全等三角形的概念及性质；
3、三角形全等的判定；
4、角平分线的性质及判定
5、你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗?
知识点一：证明三角形全等的思路
通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析:
”找夹角t SAS
已知两边2找第三边T SSS
找直角t HL 边为角的对边T找任一角t AAS
'找夹角的另一边t SAS 丿已知一边一角彳I
边为角的邻边〈找夹边的另一角t ASA 找边的对角t AAS
L
已知两角P戈夹边t ASA
找任一对边t AAS
切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
例1.如图，A,F,E,B 四点共线，AC_CE , BD _ DF , AE 二BF , AC 二BD。
求证：，ACF=.汨DE。
思路分析：从结论 丄ACF 三.BDE 入手，全等条件只有 AC =BD ;由AE =BF 两边同时减去EF 得到 AF =BE ，又得到一个全等条件。
还缺少一个全等条件，可以是 CF =DE ，也可以是• A =/B 。
知识点二：构造全等三角形
例2.如图，在.叭BC 中，BE 是/ ABC 的平分线， AD _ BE ，垂足为D 。
求证：乙2 ,/1 ./C 。
思路分析：直接证明 .2 - 1 • . C 比较困难，我们可以间接证明，即找到 .：•，证明.2 = . 且
Z.-上1 • . C 。
也可以看成将• 2 “转移”至「。
知识点三：常见辅助线的作法
1.连接四边形的对角线
解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。
2.作垂线，利用角平分线的知识
例5.如图，AP,CP 分别是「ABC 外角.MAC 和.NCA 的平分线，它们交于点 P 。
求证：BP 为.MBN 的平分线。
例3.如图，在「ABC 中，AB =BC ，/ABC =90’。
F 为AB 延长线上一点，点 连接AE,EF 和CF 。
求证： AE =CF 。
思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。
90至h CBF 的位置，而线段 CF 正好是 CBF 的边，故只要证明它们全 E 在 BC 上，BE 二 BF ,
以线段 AE 为
边的 ABE 绕点B 顺时针旋转 等即可。
思路分析：要证明“ BP为.MBN的平分线”，可以利用点P到BM , BN的距离相等来证明，故应过点P向BM , BN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“ AP,CP分别是.MAC和.NCA的平分线”，也需要作出点P到两外角两边的距离。
例6.如图，D是.ABC的边BC上的点，且CD二AB，. ADB = . BAD，AE是ABD的中线。
求证:
AC =2AE。
思路分析：要证明“ AC =2AE ”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。
因此，延长AE 至F，使EF 二AE。
I /
I /
* /
I *
/
F
解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证
明两条直线平行。
4. “截长补短”构造全等三角形
例7.如图，在「ABC中，AB AC，■ 1= 2，P为AD上任意一点。
求证：AB - AC • PB - PC。
思路分析：欲证 AB _AC .PB _PC ，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。
由于结论中是 差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段 “补短”两种方法。
解答过程：法一：
在AB 上截取AN 二AC ，连接PN 在.APN 与.APC 中
AN =AC .0=/2 AP =AP
APN 二 APC (SAS) .PN =PC
一在.BPN 中,PB -PN ::: BN
.PB -PC ::: AB-AC ，即 AB- AC>PB- PC
法二：
延长AC 至M ，使AM 二AB ，连接PM 在ABP 与AMP 中
[AB 二 AM ■ 2 Z 1 Z 2
AP =AP
ABP = AMP (SAS) .PB =
PM
AB _ AC 。
而构造AB _ AC 可以采用“截长”和
C
一在.PCM 中，CM PM -PC .AB — AC PB — PC。
资料。