{ω : X(ω) = xi } (xiX)都是事件。记 P(ω : X(ω) = xi ) =pi ( xi X , i=1,2, ∙∙∙)
或
X~xp00
x1 p1
x2 p2
(a)
称(a)为离散型随机变量 X= X(ω)的概率分布律， pi0，pi =1
1.3 随机变量
۞ 对于任意离散型随机变量 X= X(ω) ，若它的概率分布律由 式(a)给出，则它的分布函数为：
xa
(3) 记： F () liF m (x );F ( ) liF m (x )
x
x
则： F () 0,F ( ) 1
定义3:假设X= X (ω)是概率空间(Ω ,F, P)上的随机变量， 对任意集合类A B1 （包含R 上所有形如集合（ ∞<a ]的最小域），记实值集函数PX(A)=P{ω： X (ω) A}, ，称PX(A)为随机变量X(ω)的概率分布。
1.3 随机变量
1.3.1 随机变量 1.3.1.1随机变量及其分布函数和概率分布 定义1：设(Ω ,F, P)为概率空间， X(ω)(ω Ω)是定义在
Ω上的单值实函数，若对aR，有 {ω： X(ω) ≤ a } F ，
则称X(ω)为随机变量(random variable)。 分类:
——离散型随机变量； ——连续型随机变量； ——混合型随机变量。
F(x)P(:X()x)P({:X()xi}) xix
P(:X()xi)Pi
xix
xix
۞离散型随机变量的分布函数是右连续单调不减的阶梯函数.
1.3 随机变量
设X是取有穷个值的随机变量，不失一般性，假设x0<x1<x2< ∙∙∙ <xn, ，那么在分布律(a)下， X 的分布函数FX (x)具有下图所 表现的一般特征。
Or FX (x)=P{X≤ x}= P{X (-∞ ,x]}, x R =(-∞, ∞) 称F X(x)为随机变量X = X(ω)的分布函数(distribution
function)。也称为概率累积函数(probability cumulative function).
1.3 随机变量
随机变量分布函数的说明：
1.3 随机变量
手机话费 （随机变量的两要素
– 变量特征 – 概率特征（统计特征）
1.3 随机变量 概率质量函数
(pmf: probability mass function)
• 任何一种离散型随机变量都可以统一地用概率质量函数表示 • 其他事件的概率通过概率质量函数计算得到 • 连续型随机变量不可以用概率质量函数表示
۞分布函数FX(x)是x的实值函数,记为F (x) ； ۞ x R1为自变量； ۞以事件{ω： X(ω) ≤ x}的概率测度为函数值； ۞取值在[0，1]上。
1.3 随机变量
定理: 任意随机变量的分布函数，具有下列性质:
(1)单调不减性：对 -∞<x1<x2< ∞ ，有 F(x1) F(x2)
(2)右连续性：对 -∞<a< ∞ ，有 limF(x)F(a)
解：令F 为Ω一切子集构成的事件σ-代数，令Ui={第i次命中目 标 } ， Ū i={第i次未命中目标} (i=1,2)， 则由题目可知：P (Ui)=0.4， P (Ū i)=0.6。
则由独立性可得：P({ω1})=P(Ū1 ∩Ū2)= P(Ū1) P(Ū2)=0.36 ; P({ω2})=P(Ū1 ∩U2)= P(Ū1) P(U2)=0.24 ; P({ω3})=P(U1 ∩Ū2)= P(U1) P(Ū2)=0.24 ; P({ω4})=P(U1 ∩U2)= P(U1) P(U2)=0.16 ;
1.3 随机变量
1.3.1.2离散型随机变量
定义4：最多取有穷个或可数个值的随机变量叫做离散型随机变量(discrete random variable)。 ۞ 假设 X(ω)是定义在概率空间(Ω ,F, P)上的离散型随机变量，
X = (x1, x2, ∙∙∙)是 X 所取的一切可能值的集合，含有有穷或可数个不同的实数，
1.3 随机变量
• 样本空间、概率、随机变量间的映射关系 R
Ω
ωk A ω1 ω2
ωi ωk
ωn B
a {ω : X(ω)≤ a}
ak = X(ωk)
ak
a1 = X(ω1)
a1 a2 = X(ω2)
事件的概率
a2
x1 =P(A)
x2 =P(B)
0 x1 x2 1
1.3 随机变量
随机对象 • 映射方法：将具体的样本空间映射到数集或者
函数集（传统的方法；概率论中常用） • 直接方法：直接指定样本空间为数集或函数集
– 当样本空间为一维实数集合时，则称该一维实变量 为随机变量
– 当样本空间为一维复数集合时，则称该一维复数变 量为复随机变量
– 当样本空间为高维实数空间时，则称该高维实数空 间为随机向量
– 当样本空间为定义于某个数集上的函数组成，则称 该函数集合为随机过程
pk
x3
xk xk+1 x
1.3 随机变量
例 随机试验E：连续进行两次射击，以 X表示命中目标的次数， 假设每一次命中目标的概率为0.40， 以0 表示未命中目标，1
Ω 表示命中目标，那么随机试验E的所有可能结果为 1 0 , 0 ,2 0 , 1 ,3 1 , 0 ,4 1 , 1
1.3 随机变量 概率分布函数
(cdf: cumulative distribution function)
1.3 随机变量 概率密度函数
(pdf: probability density function)
概率分布函数的导数 概率在直线上的密度
1.3 随机变量
定义2：假设X是概率空间(Ω ,F, P)上的随机变量，那 么对于任意x R =(-∞, ∞)， P{ω: X(ω) ≤ x}有意义， 因而此概率是x的函数，记作 FX (x)=P{ω: X(ω) ≤ x}, x R =(-∞, ∞)
对任意A B1 ，有
FX (x)
P(A)P(:X()A)P({:X()xi}) 1 xiA
P(:X()xi)pi
xiA
xiA
——是离散型随机变量的概率分布。
离散型随机变量的分布函数为
p2
p1
F(x)P(:X()x)P(x ix{:X()xi})p0x0 x1 x20
P(:X()xi)Pi
xix
xix