专题02导数中的参数问题【题型综述】导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式成立/存在性/方程的根/零点等条件,求解参数的取值或取值范围”。

这类型题目在近几年的高考全国卷还是地方卷中，每一年或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型。

学生要想解决这类型的题目，关键的突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分类讨论法和分离参数法。

一．分离参数法分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的，如下面的第2种情形），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离。

1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定)该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题。

例1．已知函数()ln sin f x x a x =-在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则实数a 的取值范围为()A .43,π⎛-∞⎝⎦B .42,π⎛-∞⎝⎦C .4243,ππ⎡⎢⎣⎦D .42,π⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【思路引导】已知函数()f x 在固定区间上的单调性，先转化为()11cos 0cos f x a x a x x x'=-≥⇒≤在固定区间上恒成立，cos 0x >在固定区间上是成立的，故而把自变量x 与参数a 进行完全分离，转化为求不含参函数()1cos h x x x=的最值问题，再利用求导求单调性就可以求的函数()h x 的最值。

∴()22210424224p x p πππ⎛⎫⎫≤=-+⨯=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()0h x '<在,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，∴()h x 在,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上减函数，∴4242a h ππ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,实数a 的取值范围为42,π⎛-∞ ⎝⎦，故选B .2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数）该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了。

例2．已知函数()3232f x x x mx m =-+--，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x >，则m 的取值范围是（）A .()0,1B .1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【思路引导】该题为含参数的存在性问题，()00f x >可以进行半分离为3232x x mx m -+>+，再利用数形结合的思想对g 3232)x x x h x m x =-+=+（），（）（的图像进行分析即可。

即044 133m m m⎪≤⎪-⎩+⎧⎨＞＞，解得213a ≤＜，所以m 的取值范围是2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选C 。

二．分类讨论法分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论。

1．二次型根的分布或不等式解集讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程，可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决。

例3．当0x >时，不等式()22131ln 222x a x a x a a +-->-恒成立，则a 的取值范围是（）A .[)()0,11,⋃+∞B .()0,+∞C .(](),01,-∞⋃+∞D .()(),11,-∞⋃+∞【思路引导】该含参数的恒成立问题可以转化为求解函数()()22131ln 222f x x a x a x a a =+---+的最值，利用求导求单调性的标准过程进行求解，求导后关键是解决含参数的二次函数不等式，可以依次确定对应二次函数的定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较），然后做出简图，即可得到函数的单调性，进而求的()f x的最值。

()()10min g a g ==，故当0a >时且1a ≠时()0f x >综上a 的取值范围是[)()0,11,⋃+∞，故选A 2．指数对数型解集或根的讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程，可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论。

即可解决。

例4．函数()()211,12xf x x e kx k ⎛⎫⎛⎤=--∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭,则()f x 在[]0,k 的最大值()h k =（）A .()32ln22ln2--B .1-　C .()22ln22ln2k--D .()31k k e k --【思路引导】该题为含参数的最值问题,关键是确定单调性和区间,即含参数的导函数在区间上的符号,该导数含f’(x )=x xe −2kx =x (xe −2k )含有指数，且()'0f x =有两个根，故而要根据两个根的大小和两根与固定区间端点的大小进行相应的讨论，确定单调性，再确定最值。

【同步训练】1．已知函数()ln a f x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是（）A .[)1,-+∞B .[)1,1-C .()1,-+∞D .()1,1-【思路引导】该恒成立问题可以转化为含参数的最值问题，然后进行参数完全可分离，求解不含参函数的最值即可解决。

【详细解析】由题意得3ln a x x x >-，令3ln (1)y x x x x =->21ln 12,40,y x x y x x∴=+-=-'<''2ln 12ln1120,y x x ∴<+'=+--=1ln1111y a ∴<⨯-=-∴≥-；故选A .2．设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围是()A .10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B .211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C .222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D .221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【思路引导】()()g x f x ax =-的零点可以半分离为()f x 与直线y ax =的交点，再利用数学结合和切线的性质求解即可。

3．不等式()()2ln 20x a x x +++≥的解集为A ，若[)1,A -+∞⊆，则实数a 的取值范围是（）A .[)0,+∞B .[]0,1C .[]0,e D .[]1,0-【思路引导】该题为恒成立问题,可以转化为含有参数的最值问题,求导可得是含参数的二次项,所以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据.进行分类讨论,得到单调性和最值即可。

4．当0x ≥时，()ln 11xxe a x x ≥++恒成立，则a 的取值范围为（）A .(],1-∞B .(],e -∞C .1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D .(],0-∞【思路导引】该类恒成立问题，因为()ln 10x +>，可以使用分离参数法进行完全分离，然后转化为不含参函数的最值问题，求导求单调性即可。

【详细解析】当x ≥0时，1x xe x +≥aln （x +1）恒成立，∴()()()·,1ln 1xx e a f x x x ≤=++x ≥0则f ′（x ）=()()()()2221ln 11ln1x xe x x xe x x ++-++，再设g （x ）=（1+x ）2ln （x +1）﹣x ，则g ′（x ）=（1+x ）ln （x +1）+1+x ﹣x =（1+x ）ln （x +1）+1＞0恒成立，∴g （x ）在[0，+∞）上单调递增，∴g （x ）≥g （0）=0，∴f ′（x ）≥0∴f ′（x ）在[0，+∞）上单调递增，∴f （x ）≥f （0），∵根据洛必达法则可得∵f （0）=1∴a ≤1，故a 的取值范围为（﹣∞，1]，故答案为A 。

5．已知函数()()()221ln ,,1xf x ax a x x a Rg x e x =-++∈=--，若对于任意的()120,,x x R ∈+∞∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，，则实数a 的取值范围为（）A.[)1,0- B.[]1,0- C.3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【思路导引】该问题是恒成立和存在性问题的综合，都转化为最值问题，但是参数无法进行分离，所以带参数求导为二次项，故而根据含参数根的大小和根与区间端点的大小进行分类讨论，得最值即可。

综上可知10a -≤≤.故选B 6．已知函数()()()21,,2xx f x e a e e aex b a b R =+--+∈（其中e 为自然对数底数）在1x =取得极大值，则a 的取值范围是（）A.0a < B.0a ≥ C.0e a -≤< D.a e<-【思路导引】该类已知极值情况，求参数取值范围的题目，可以先转化为已知导函数的零点情况，求参数取值范围，求导数后为含参数的指数形式，根据对应指数方程的根情况进行讨论即可。