导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1 •求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论 1 1 ★已知函数f(x)x 3 (a 2)x 2 2ax (a>0),求函数的单调区间 3 2f (x) =x _(a 亠2)x 亠2a =(x _a)(x -2)2a★★例1已知函数f(x)二x (a U 2)lnx (a>0)求函数的单调区间x2x -(a 2)x 2a f (x)2 x(I)当a =1时，求曲线y = f x 在点2, f 2 处的切线方程； (n)当a=0时，求函数f x 的单调区间与极值。

解: (I)当a =1时，曲线y = f x 在点2,f 2处的切线方程为6x 25y-32 = 0。

2(n)由于a 式0，所以f ⑺/嗔切了 ,由f'(x)=O ，得x 1 =(x +1 )I 1 '■-2a x - a x2―—义域R 内，但不知它们之间(x 2+1)a 的取值分a 0和a ：：： 0两种情况进行讨论。

函数f x 在x 2 =a 处取得极大值f a =1 o1 —(-一「：)内为增函数，在区间a1 」 1(a,)为减函数。

故函数 f x 在％处取得极小值aaX 2二a 处取得极大值f a = 1。

(x-2)(x-a)2x22ax -a 1 x 21x R ，其中a R 。

1, X 2 = a 。

这两个实根都在定 a2 22a x 1；-2x 2ax - a 1f x二2 2 (x 2+1)的大小。

因此，需对参数 (1)当 a 0 时，则 x 'x 2。

易得f x 在区间，a, •：：内为减函数,在区间i l,aI a为增函数。

故函数1i 1 f x 在为处取得极小值f a [1 I a 」2--a ; (1) 当a ”：0时，则x 1 x 2。

易得f x 在区间(-：：，a)， ★★★例3已知函数x 二以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。

因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。

当然，在具体解 题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。

★★★(区间确定零点不确定的典例)例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3元，并且每件产品需向总公司交a 元(3W a w 5)的管理费，预计当每件产品的售价为 x 元(9w x w 11)时，一年的销售量为(12-x ) 2万件.(1) 求分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式；(2) 当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q( a ).已知 f x = xlnx,gx = x 3 ax 2-x 2 (I ).求函数f x 的单调区间； (n ).求函数f x 在t,t 2\0上的最小值；(川)对一切的0, = ：,2fx 乞g 'x 2恒成立，求实数a 的取值范围.解: ( I ) f (x) =1 nx+1,令f (x )v 0,解得 O v x v — ,二 f (x 的单调递减区间是0,- |； el e 丿1令f ' x 0,解得，f(x)的单调递增是(e ,r),e1 11 1 1解 (1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为:2(2)L ，(x)=(12-x)-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).2L=(x-3-a)(12-x) ,x €[ 9,11 :.L(x)(万元)； 若§ w a w 5,则当每件售价为(6+ 2 a)元时，分公司一年的利润23★ ★★★(导函数零点确定，但区间端点不确定引起讨论的典例)L 最大，最大值 Q(a)=4 (3- J a ) 3(万元).3L 最大，最大值 Q (a ) =9(6-a) 答若3w a <9，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润(n )( i )0<t<t+2< , t 无解；(ii )0<t< <t+2，即0<t< 时，f(x)min二f()=e e e e e1 令 h x i ；=0,得 x =1,x = -—(舍)3当 0c x <1 时，h (x )>0;当 x>1 时，h (x )v 0•当x =1时，hx 取得最大值，h x max =-2……13分…a — -2.二•求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，但不知导函数为零的实 根是否落在定义域内，从而引起讨论。

(用导数解决函数问题若求导后研究函数的导数问题时能 转化为研究二次函数问题时，二次项的系数含参数按系数大于零、等于零、小于零分类；再按在二次 项的系数不等于零时对判别式按△> 0、A =0、Av 0;在厶> 0时，求导函数的零点再根据零点是否在在定义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论。

)a1★ 1已知函数 f (x) x 3 X 2・(1_a)x ，求函数的单调区间3 2f (x) =ax 2 -x (1 -a) =(1 _x)(ax_1 a)a o★★例2已知函数f(x)二(1亠a)inxx 2 2★★★例3 已知a 是实数，函数f x =、. x x-a(i)求函数f x 的单调区间；(n)设g a 为f x 在区间l.0,2 1上的最小值。

(i )写出g a 的表达式; (ii )求a 的取值范围，使得-6空g a 乞-2。

3.'x_旦 f''3丿(x >0)，由 f (x) =01 1 (iii) t a 2，即 t 时，f(x)在［t,t2］单调递增,f(x)min 二 f (t) =tlnte ef(X )min S e , tint 10 :：:t :：:-e1t e、，2 2(川)由题意：2x ln x _ 3x - 2ax -1 2 在 x 三［0, •::上恒成立，即 2x in x 空 3x - 2ax - 131 3x可得a - i n x x(分离参数)，设h x = i n x -22x2 12x131 则hxT 3云x -1 3x 12x 2 12分(a>0)，求函数的单调区间f (x)=2ax -x (1-a)x(x -1)(ax -1 a)x解：(i)函数的定义域为aa 得x。

考虑一是否落在导函数 f (x)的定义域 0,亠「j 内，需对参数a 的取值分a 三0及a 0两33种情况进行讨论。

(1)当a 乞0时，则f '(x) .0在0上恒成立，所以f x 的单调递增区间为〔0。

a ' a(2) 当 a . 0 时，由 f (x) • 0，得 x ；由 f (x) ：：： 0，得 0 ：：： x ：：：3 3因此，当a>0时，f (x )的单调递减区间为|0,a I ， f(x )的单调递增区间为.『，址°(n) (i )由第(I)问的结论可知：(1)当a 乞0时，f x 在10^：上单调递增，从而 f x 在10,2 ］上单调递增，所以g a = f 0 = 0。

(2)当a 0时，f x 在0,|上单调递减，在 £上单调递增，所以：②当a 0,2，即 —时，fx在X 上单调递减，在寺2上单调递增,0,2a a - -',0 :: a 63 . 3x2 2 -a(ii )令—6 ^g a 空 一2。

① 若a 岂0，无解；2a I a② 右 0 - a - 6，由 _62 解得3 - a ：：： 6 ；3^3④ 若a 一6，由一6乞-.2 2 —a 乞-2解得6乞a 乞2 3辽。

综上所述，a 的取值范围为3乞a 乞2 • 3 2。

三.求导后，因导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式)不确定，而引起的讨论所以ga=f 3= 2a2a 3a 9③当3, 2【即a _6时,f x 在1.0,2 1上单调递减，所以ga 二f2“22-a 。

综上所述, ,a 一〜61★例1已知函数f(x) ax 2 x 求函数的单调区间 2f (x) =ax T★★例2已知函数f(x) Jnx_ax 求函数的单调区间 f (x) ~ -a f (x)=^^!xx—；X 「1, X _1试讨论函数F(x)的单调性。

1,x ： 1解：T f(x) =』1—x, F (x) = f (x)—kx, R-J X -1, X 31丄1kx, x ：： 1,F(x) = f(x) _kx = <1 -x ,F'(x) =—J x _1 _kx, x Z 1考虑导函数F'(x) =0是否有实根，从而需要对参数k 的取值进行讨论。

2(一)若x d ，则F'(X)。

由于当k 岂0时，F'(x) =0无实根，而当k 0时，F'(x) = 0 (1—x ) 当k 乞0时，F'(x) _0在(-：：，1)上恒成立，所以函数 F(x)在(-：：，1)上为增函数;★★★例3设k • R ，函数,x ::: 1,F(x)二 f(x)「kx, x R ,21-k 1 -x,x < 1 1-x 1 2k , --------------- ,x 12 x -1有实根,因此， 对参数k 分k_0和k 0两种情况讨论。

(1) (2)2当 k>0时，F'(x)_k ( —x)21-X2(1—X )由 F'(x) =0,得 x 1丄I, X = 11 +丄I ，因为k a 0，所以为v 1 v x 2。

k .、k由 F '(x) 0，得 1:::x ：：1 ；由 F '(x) ：：0，得 x ：： 1 — 1-。

因此，当k 0时,函数 F(x)在(-：：,1 -上为减函数，在(1 -1,1)上为增函数。

V k若 x 1,则 F'(x)1 2k 、x T。

由于当k_0时，F'(x)=0无实根，而当k ：：：0时,2 x -1共享知识 分享快乐xF '(x)二0有实根，因此，对参数 k 分k _ 0和k :：: 0两种情况讨论。

(1)当k_0时，F'(x)：：：0在［1「：上恒成立，所以函数 F(x)在［1「：上为减函数;且当0 x 为或x - X 2时,f (x) 0, f (x)在(0,xj 与(X 2,::)内为增函数; 当 X 1 x X 2时，f (x) < 0, f (x)在(X 1,X 2)内为减函数；1② 当a ：：：1时，厶乞0, f (x) 一0,所以f (x)在(0,：：)内为增函数;1③ 当a =1时,f (x)0(x 0), f (x)在(0,=)内为增函数；1 2k.x -1(2)当 k ：：:0 时，F'(x)=___1 1由 F '(x) 0，得—示；由 F '(x)O 得「乂“ 下。