导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=（a>0）,求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a>0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-=' ★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

!解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。

（Ⅱ）由于0a ≠，所以()()12)1(222+-+='x x a x f ,由()'0f x =，得121,x x a a=-=。

这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。

因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。

(1)当0a >时，则12x x <。

易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数， 在区间1,a a ⎛⎫-⎪⎝⎭为增函数。

故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； 函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

（1） 当0a <时，则12x x >。

易得()f x 在区间),(a -∞，),1(+∞-a内为增函数，在区间)1,(a a -为减函数。

故函数()f x 在11x a=-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。

因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。

当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。

★★★(区间确定零点不确定的典例)'例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为（12-x ）2万件. （1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）.解 （1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x ∈［9,11］. (2)L ′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x).令L ′=0得x=6+32a 或x=12（不合题意，舍去）. ∵3≤a ≤5,∴8≤6+32a ≤328. 在x=6+32a 两侧L ′的值由正变负.所以①当8≤6+32a ＜9即3≤a ＜29时，】L max =L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). ②当9≤6+32a ≤328即29≤a ≤5时， L max =L(6+32a)=(6+32a-3-a)［12-(6+32a)］2=4(3-31a)3.所以Q(a)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤-.529,)313(4,293),6(93a a a a答 若3≤a ＜29，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a)（万元）；若29≤a ≤5，则当每件售价为(6+32a)元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q(a)=4（3-31a ）3(万元).★★★★（导函数零点确定，但区间端点不确定引起讨论的典例）例2、已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f(Ⅰ).求函数()x f 的单调区间;(Ⅱ).求函数()x f 在[]()02,>+t t t 上的最小值;(Ⅲ)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围. 解：(Ⅰ)(),10,0,1ln )(''ex x f x x f <<<+=解得令 ();1,0⎪⎭⎫⎝⎛∴e x f 的单调递减区间是？)(x L(),1,0'e x x f >>解得令），，的单调递增是（∞+e x f )((Ⅱ)(ⅰ)0<t<t+2<e 1，t 无解； (ⅱ)0<t<e 1<t+2，即0<t<e1时，e e f x f 1)1()(min -==；(ⅲ)e 12+<≤t t ，即et 1≥时，单调递增在]2,[)(+t t x f ，tlnt )t ()(min ==f x f ……9分et e t x f 110tlnt e 1-)(min ≥<<⎪⎩⎪⎨⎧∴，(Ⅲ)由题意:2123ln 22+-+≤ax x x x 在()+∞∈,0x 上恒成立,即123ln 22++≤ax x x x可得x x x a 2123ln --≥（分离参数）,设()xx x x h 2123ln --=, 则()()()22'213121231x x x x x x h +--=+-=……12分 令()0'=x h ,得31,1-==x x (舍)当10<<x 时,()0'>x h ;当1>x 时, ()0'<x h∴当1=x 时,()x h 取得最大值, ()x h max =-2……13分.2-≥∴a .、二．求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。

(用导数解决函数问题若求导后研究函数的导数问题时能转化为研究二次函数问题时，二次项的系数含参数按系数大于零、等于零、小于零分类；再按在二次项的系数不等于零时对判别式按△＞0、△=0、△＜0；在△＞0时，求导函数的零点再根据零点是否在在定义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论。

) ★1 已知函数 x a x x a x f )1(213)(23-+-=，求函数的单调区间 )1)(1()1()(2a ax x a x ax x f +--=-+-=' ★★例2 已知函数22ln )1()(x a x a x f ++=（a>0）,求函数的单调区间 x a ax x xa x ax x f )1)(1()1()(2+--=-+-=' ★★★例3 已知a 是实数，函数())f x x x a =-（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值。

（i ）写出()g a 的表达式；!（ii ）求a 的取值范围，使得()62g a -≤≤-。

解：（Ⅰ）函数的定义域为[)0,+∞，())'30a x f x x ⎛⎫- ⎪===>，由'()0f x =得3a x =。

考虑3a是否落在导函数'()f x 的定义域()0,+∞内，需对参数a 的取值分0a ≤及0a >两种情况进行讨论。

（1） 当0a ≤时，则'()0f x >在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为[)0,+∞。

（2） 当0a >时，由'()0f x >，得3a x >；由'()0f x <，得03a x <<。

因此，当0a >时，()f x 的单调递减区间为0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()f x 的单调递增区间为,3a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

（Ⅱ）（i ）由第（Ⅰ）问的结论可知：（1） 当0a ≤时，()f x 在[)0,+∞上单调递增，从而()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()00g a f ==。

（2） 当0a >时，()f x 在0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,3a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以：② 当()0,23a ∈，即06a <<时，()f x 在0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以()3a g a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭932a a -=。

③ [④当[)2,3a∈+∞，即6a ≥时，()f x 在[]0,2上单调递减，所以()())22g a f a =-。

综上所述，())0,062,~6a g a a a a ⎧≤⎪⎪=<<⎨-≥ （ii ）令()62g a -≤≤-。

①若0a ≤，无解； ②若06a <<，由62-≤≤-解得36a ≤<；⑤ 若6a ≥，由)622a -≤-≤-解得62a ≤≤+。

综上所述，a的取值范围为32a ≤≤+三.求导后，因导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式）不确定，而引起的讨论。

★例1已知函数x ax x f +=221)( 求函数的单调区间；1)(+='ax x f★★例2已知函数ax x x f -=ln )(求函数的单调区间 a xx f -='1)( x ax x f 1)(+-=' ★★★例3 设k R ∈，函数1,11(),()(),1x x f x F x f x kx x R x ⎧<⎪-==-∈⎨⎪≥⎩，试讨论函数()F x 的单调性。

解：∵1,11(),()(),1x x f x F x f x kx x R x ⎧<⎪-==-∈⎨⎪≥⎩()()2211,11,1,11()(),'(),11k x x kx x x x F x f x kx F x kx x x ⎧--<⎪⎧-<-⎪⎪-=-==⎨⎨⎪⎪≥⎩>⎪⎩。