⑴ 1968年Sato和Hoffman
假定要素替代弹性: (t) a b t
得到:
(t )1
(t )1 (t )
Y B(L (t) (1 )K (t) ) (t)1
•与CES有什么联系与区别？
⑵ 1971年 Revankar
假定
YA K L
⒌ 引入人力资本的生产函数模型
• Lucas（1988）为了解决技术内生问题，提出 人力资本的概念，Romer等人（1992）提出包 括人力资本的生产函数模型
⒍ 边界生产函数模型
⑴确定性边界生产函数
Y f (K, L,)eu
(u 0)
⑵随机边界生产函数
Y f (K, L,)evu ( f (K, L,)ev )eu
• 假设在生产活动中除了技术以外，只有资本 与劳动两种要素，定义两要素的产出弹性之 比为相对资本密集度，用ω表示。即:
EL / EK
• 如果技术进步使得ω越来越大，即劳动的产出弹 性比资本的产出弹性增长得快，则称之为节约劳 动型技术进步；如果技术进步使得ω越来越小， 即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得慢， 则称之为节约资本型技术进步；如果技术进步 前后ω不变，即劳动的产出弹性与资本的产出弹 性同步增长，则称之为中性技术进步。
C-D生产函数 C-D生产函数的改
C-D生产函数的改
含体现型技术进步
1967年 Arrow等
两要素CES生产函数
1967年 Sato
二级CES生产函数
1968年 Sato, Hoffman VES生产函数
1968年 Aigner, Chu
边界生产函数
1971年 Revanker
VES生产函数
1973年 Christensen, Jorgenson 超越对数
生产函数
1980年
三级CES生产函数
⑶ 生产函数是经验的产物 • 生产函数是在西方国家发展起来的，作为西方经
济学理论体系的一部分，与特定的生产理论与环 境相联系。
• 西方国家发展的生产函数模型可以被我们所应用：
生产函数反应的是生产中投入要素与产出量 之间的技术关系；
生产函数模型的形式是经验的产物；不能照搬。

1
L
L

A(a1 a K

cL
)

1

•退化为CES模型。
• 当b=0，a=1时 ，
Y L

A exp
dk k (1
c)
ln k
1
A exp(
) Ak 1c
1 c
1
1
1


Y AK 1c L 1c L AK 1c L1c
• 从生产函数可以求得要素的边际产量和要素的边 际替代率。
⑶ 要素替代弹性
• 要素替代弹性定义为两种要素的比例的变化率 与边际替代率的变化率之比。
d(K / L)

d ( MPL / MPK )
(K / L) ( MPL / MPK )
• 要素替代弹性是描述生产行为的重要参数，
求得要素替代弹性是生产函数的重要应用。
• 要素产出弹性的数值区间大于0小于1
⑵ 规模报酬 • 所有要素的产出弹性之和记作Γ • 规模报酬不变, Γ=1 • 规模报酬递增, Γ>1 • 规模报酬递减, Γ<1
⒋ 技术进步
⑴ 广义技术进步与狭义技术进步
• 所谓狭义技术进步，仅指要素质量的提高。 • 狭义的技术进步是体现在要素上的，它可以通

ln
A

m
ln(1K
2
L
)


ln Y

ln
A

1m ln
K

2 m ln
L

1 2
m12
(ln(
K ))2 L


Z 0 1 X1 2 X2 3 X3
⒊ VES生产函数的估计
1 ( )m
Y AK 1c ( L (
b
c
)
生产函数一阶齐次性
• 生产函数要素同时增加λ 倍,产出也增加λ 倍 即: f(λ K, λ L,……)= λ f(K, L,……)
并非所有生产函数模型都具有一阶其次性
2. 要素替代弹性（Elasticity of Substitution）
⑴ 要素的边际产量(Marginal Product)
• 其他条件不变时，某一种投入要素增加一个单位 时导致的产出量的增加量。用于描述投入要素对 产出量的影响程度。
四、几个重要生产函数模型的参数估计方法 五、生产函数模型在技术进步分析中的应用 六、建立生产函数模型中的数据质量问题
一、几个重要概念
⒈ 生产函数 ⑴ 定义 • 描述生产过程中投入的生产要素的某种组合同
它可能的最大产出量之间的依存关系的数学表 达式。
Y f ( A, K, L,)
• 投入的生产要素 • 最大产出量
• 退化为C-D生产函数。
• 当a=1时，
1 bk
1
b
c
Y AK 1c ( L ( ) K) 1c
1 c
1 ( )m
b
c ( )m
Y AK 1c ( L ( )K) 1c
1 c
为实际应用的VES生产函数。
三、以技术进步的描述为线索的生产函 数模型的发展
⒈ 将技术要素作为一个不变参数的生产函数 模型
KL Y min( , )
ab
0
要素替代弹性等于0，说明完全不能替代
三种替代曲线
⒊ C-D生产函数模型
Y AK L
要素的产出弹性：
Y EK K
K A K 1 L Y
Y
K
Y EL L
L AK L1 Y
Y
L
d(K / L)
K)
( 1c
)m


1 c
m
cm
b
lnY ln A ln K ln( L K)
⑵ 生产函数模型的发展
• 从20年代末，美国数学家Charles Cobb和经济 学家Paul Dauglas提出了生产函数这一名词， 并用1899-1922年的数据资料，导出了著名的 Cobb-Dauglas生产函数。
1928年 Cobb, Dauglas 1937年 Dauglas,Durand 进型 1957年 Solow 进型 1960年 Solow 生产 函数
Y

A(1K


2
L

)

m
d(K / L)

d ( MPL / MPK )
(K / L) ( MPL / MPK )
K d (ln( ))
d (ln( MPL ))
L
MPK
1
1
• δ 1,δ 2为分配系数， 0<δ i<1 i=1,2 且满足 δ1＋δ2＝1
• ρ为替代参数 且满足 －1<ρ<∞
• 要素替代弹性不为负。 • 特殊情况：要素替代弹性为0、要素替代弹性
为∞。
3. 要素产出弹性（Elasticity of Output） ⑴ 要素的产出弹性
• 某投入要素的产出弹性被定义为，当其他投入 要素不变时，该要素增加1%所引起的产出量的 变化率。 Y K f K EK Y K K Y Y L f L EL Y L L Y
K
ab
要素比例不同则要素之间的替代性能也L不同。当K/L较大
时资本替代劳动力就较困难；当K/L较小时资本替代劳动 力就较容易。
生产函数形式：
dk
Z Aexp k c(
k
)1 a
a bk
其中: Z Y L , k K L
• 当b=0时 ，
1a
Y
dk
A exp
过要素的“等价数量”来表示。
• 求得“等价数量”，作为生产函数模型的样本观 测值，以这样的方法来引入技术进步因素。
• 所谓广义技术进步，除了要素质量的提高外，还 包括管理水平的提高等对产出量具有重要影响的 因素，这些因素是独立于要素之外的。
• 在生产函数模型中需要特别处理广义技术进步。
⑵ 中性技术进步
四、几个重要生产函数模型的参数估计 方法
⒈ C-D生产函数模型及其改进型的估计
⑴线性估计方法
Y AK L
⑵非线性估计方法
Y AK L
• 能否线性化，与假设有关。哪个方法更合理？
⒉ CES生产函数模型及其改进型的估计
Y

A(1K


2
L

)
m

ln Y
⒊ 改进的CES生产函数模型
Y

A0 (1 )t (1K
L )

m1
2
Y

A0et (1K
L )

m1
2
• 关于技术进步的假设是什么？为什么？(p.230最 后两段)
⒋ 含体现型技术进步的生产函数模型
总量增长方程
Y A K L


d ( MPL / MPK )
(K / L) ( MPL / MPK )
K d (ln( ))
L
K d (ln( ))
L K d (ln( )) L 1
d (ln( MPL )) MPK
K d (ln( L ))

K
d (ln( ) ln( L ))
C-D生产函数关于要素替代弹性系 数为1的假设具有缺陷