答案2
7．(2014·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．
解析∵2sinB＝3sinC，由正弦定理得2b＝3c，∴b＝c，
又b－c＝a，∴a＝4(b－c)，∴a＝2c.
∴cosA＝＝＝－.
答案－
8．(2014·江苏卷)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．
答案A
2．(2014·益阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asinA＋bsinB－csinC＝asinB，则角C等于()．
A.B．
C.D．
解析由正弦定理，得a2＋b2－c2＝ab，
所以cosC＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.
答案A
3．(2014·吉林省实验中学一模)在△ABC中，sin(A＋B)·sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是()．
答案A
二、填空题
6．(2014·福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
解析由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，
∴12＝AB2＋16－2×AB×4×cos 60°，解得AB＝2，
∴S△ABC＝·AB·AC·sinA＝×2×4×sin 60°＝2.
第2讲 解三角形问题
一、选择题
1．(2014·西安模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
asinAsinB＋bcos2A＝a，则因为asinAsinB＋bcos2A＝a，所以由正弦定理，得sinAsinAsinB＋sinB＝sinA，即sinB＝sinA，所以＝.
(2)求BD，AC的长．
解(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，
所以sin∠ADC＝.
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin∠B
＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得
BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
解析因为sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，所以sin (A－B)＝sinC，又因为A，B，C为△ABC的内角，所以A－B＝C，所以A＝90°，所以△ABC为直角三角形．
答案B
4．(2014·福州模拟)在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面积S＝，则sinC＝()．
A.B．
C.D．
解析因为在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面积S＝，所以S△ABC＝BC×BAsinB＝，即×1×BA×＝，解得BA＝4.又由余弦定理，得AC2＝BC2＋BA2－2BC·BAcosB，即得AC＝，由正弦定理，得＝，解得sinC＝.
答案D
5．(2014·重庆卷)已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是()．
＝82＋52－2×8×5×＝49.所以AC＝7.
10．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，B＝，b＝，求a＋c的范围．
解法一 由B＝，得A＋C＝.
所以sinA＋sinC＝sinA＋sin＝sinA＋
＝sinA＋cosA＝sin.又0＜A＜，所以＜A＋＜.
即2sinA[－cos (B＋C)＋cosB·cosC＋sinC·sinB]＝，化简，
得sinA·sinB·sinC＝，
由面积公式，得＝，所以(abc)2＝64S3∈[64,512]，即abc∈[8,16]，从而可以排除选项C和D；对于选项A：bc(b＋c)>bca≥8，即bc(b＋c)>8，故A正确；对于选项B：ab(a＋b)＞abc≥8，即ab(a＋b)＞8，故B错误，故选A.
解析∵sinA＋sinB＝2sinC.
由正弦定理可得a＋b＝2c，即c＝，
cosC＝＝
＝≥＝，
当且仅当3a2＝2b2即＝时等号成立．
∴cosC的最小值为.
答案
三、解答题
9．(2014·北京卷)如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.
(1)求sin∠BAD；
A．bc(b＋c)>8B．ab(a＋b)>16
C．6≤abc≤12D．12≤abc≤24
解析由sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，
得2sinA·cosA＋sin(C－B)·cosA＋cos (C－B)·
sinA＝sin(C－B)·cosA－cos (C－B)·sinA＋，
即2sinA[cosA＋cosC·cosB＋sinC·sinB]＝，