【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题5 平面向量 39 与
平面向量有关的创新题 文
成立，设a ，b 的夹角为θ，则sin θ＝________.
2．在△ABC 中，已知AB →AC →＝tan A ，当A ＝π6
时，△ABC 的面积为________． 3．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定m ，n 之间的一种运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )．若a ＝(－1，－2)，a ⊗b ＝(4,5)，则b ＝________.
4．(2015·宜昌一模)已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则
△AOC 的面积为________．
5．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ·β
.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a b 和b a 都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫
⎪⎪⎪n 2n∈Z 中，则a b ＝________. 6．已知O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC
→|AC →|cos C )，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心．
7．设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成．若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为________．
8．若函数f (x )＝2sin(π6x ＋π3
)(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与f (x )的图象交于B 、C 两点，O 为坐标原点，则(OB →＋OC →)OA →＝________.
9．已知向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，p ＝(x ，y )，定义新运算m ⊗n ＝(ac ＋bd ，ad ＋bc )，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如果对于任意向量m 都有m ⊗p ＝m 成立，则向量p ＝________.
10．在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511
DB →.
(1)求|AB →－AC →|；
(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋t AC →，y ＝t AB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值．
答案解析
25
4. )35，145－3.( 162. 631. 3
2
5. 6．垂
)AC →|AC →|cos C
＋AB →|AB →|cos B (λ＋OA →＝OP →向量 解析 ．)AC
→|AC →|cos C ＋AB →|AB →|cos B (λ＝AP →可化为 ，
B cos 〉＝－B
C →，AB →〈cos 因为 ，
C cos 〉＝BC →，AC →〈cos 而 ，0＝BC →·AP →，得0＝|BC →|－|BC →|＝BC →)AC
→|AC →|cos C
＋AB →|AB →|cos B (所以 因此点P 在过A 且垂直BC 的直线上，
从而动点P 的轨迹一定过△ABC 的垂心． π
37. ，
4y 4x ＋3y 3x ＋2y 2x ＋1y 1x ＝S 设 析解 ，
b a 个0的表达式中有S 若 ，
1S ，记为2
b 2＋2a 2＝S 则 ，
b a 个2的表达式中有S 若 ，
2S ，记为b a 2＋2b ＋2a ＝S 则 ，
b a 个4的表达式中有S 若 .
3S ，记为b a 4＝S 则 ，
>02)b －a 2(＝b a 4－2b 2＋2a 2＝3S －1S ，所以|a 2|＝|b |又 ，
>02)b －a (＝3S －2S ，>02)b －a (＝b a 2－2b ＋2a ＝2S －1S ，
b a 4＝3S ＝min S ，故1S <2S <3S 所以 ，
2|a 4|＝θcos 2|a 8|＝b ·a 4＝min S ，则θ的夹角为b ，a 设 .π3＝θ，所以π]，∈[0θ，又12＝θcos 即
8．32
解析 由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4,0)，过点A 的直线l 与f (x )的图象交于B 、C 两点，
根据对称性可知，A 是线段BC 的中点，
，
OA →2＝OC →＋OB →所以 32.
＝2|OA →2|＝OA →OA →2＝OA →)OC →＋OB →(所以
9．(1,0)
，
m ＝p ⊗m ∵，)y ，x (＝p 设 解析 ⎩
⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝a ，ay ＋bx ＝b ，∴，)b ，a (＝)bx ＋ay ，by ＋ax (＝)y ，x (⊗)b ，a (即 成
)b ，a (＝)y ，x (⊗)b ，a (，都有)b ，a (＝m 由于对任意向量⎩⎪⎨⎪⎧ a x －1＋by ＝0，ay ＋b x －1＝0.即立，
．
(1,0)＝p ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，y ＝0，∴ 三点共线，D ，B ，A ，且DB →511
＝AD →由(1) ．解10 11.＝DB ，所以5＝AD 又|.DB →|511
＝|AD →|可知 ，
75＝2
AD －2AC ＝2CD 中，ADC Rt△在 ，
196＝2CD ＋2DB ＝2BC 中，BDC Rt△在 14.
＝|CB →|＝|AC →－AB →|所以14.＝BC 所以 ，
14＝|CB →|，10＝|AC →|，16＝|AB →|知(1)由(2) .12＝|AC →|2＋|AB →|2－|CB →|22|AB →|·|AC →|
＝A cos 中，由余弦定理得ABC △在 ，
AC →＋AB →t ＝y ，AC →t ＋AB →＝x 由 )
AC →＋AB →t )·(AC →t ＋AB →(＝y ·x ＝k 知 2|AC →|t ＋AB →·AC →1)＋2t (＋2|AB →|t ＝
t 100＋12
1)×16×10×＋2t (＋t 256＝ 80.
＋t 356＋2
t 80＝ 由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增，
所以当t ＝1时，k 取得最小值516.。