+∞ +∞
（ 2） ）
−∞ −∞
∫∫
e − ( x1 + x2 ) dx1dx2 =
+∞ +∞
∫∫
0 0
e − ( x1 + x2 ) dx1dx2
=
=
+∞
∫
0
0 +∞
+∞ − ( x1 + x2 ) dx1 dx2 ∫ e 0
− x2
∫e
dx2 = − e
− x2 +∞ 0
=1
维随机向量， 定义 2.4 设 X = ( X 1 , X 2 ,L , X p )′ 是 p 维随机向量，称 由 它 的 q (< p ) 个 分 量 组 成 的 子 向 量 的边缘（ 或边际） X (i ) = ( X i1 , X i2 ,L , X iq )′ 的分布为 X 的边缘（ 或边际 ） 分布， 的分布称为联合分布。 分布 ，相对地把 X 的分布称为联合分布。通过变换 X 中 各分量的次序， 总可假定 X (1) 正好是 X 的前 q 个分量， 个分量， 各分量的次序， 其 余 p − q 个分量为 X
f ( x1 , x 2 , L , x p ) ， 使 得 对 一 切 x = ( x1 , x2 , L, x p )′ ∈ R p 有
F ( x)∆F ( x1 , x2 ,L , x p ) =
x1
xp
−∞
∫L∫
f (t1 , t2 ,L , t p )dt1 L dt p （2.3） ）
−∞
表 2.1 变量 序号 1 2
数据
X1
X2
L
Xp
X 11
X 12
L L
M
X1 p X2p
X 21
X 22
M
M
X n1
M
X n2
M
X np
n
L
X (α ) = ( X α 1 , X α 2 ,L , X α p )′ ， α = 1, 2,L , n 个样品的观测值。 表示第 α 个样品的观测值。竖看表 2.1，第 j 列的元素 ， X j = ( X 1 j , X 2 j ,L , X nj )′ ， j = 1, 2,L , p
【例 2.1】 试证函数 】
e − ( x1 + x2 ) , x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 f ( x1 , x 2 ) = 其它 0, 密度函数。 为随机向量 X = ( X 1 , X 2 )′ 密度函数。
证：只要验证满足密度函数两个条件即可 （ 1）显然，当 x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 时有 f ( x1 , x 2 ) ≥ 0 ）显然，
（2.1） ）
简记为 X。 。 定义 2.1 将 p 个随机变量 X 1 , X 2 ,L , X p 的整体称为 p 维随 机向量， 机向量，记为 X = ( X 1 , X 2 ,L , X p )′ 。 在对随机向量的研究仍然限于讨论离散型和连续型两类随机 向量。 向量。
二、多元分布
先回顾一下一元统计中分布函数和密度函数的定义。 先回顾一下一元统计中分布函数和密度函数的定义。 是一个随机变量， 设 X 是一个随机变量，称 F ( x) = P ( X ≤ x ) 为 X 的概率分布 若 随 机 变 量 在 有 限 或 可 列 个 值 {x k } 上 取 值 ， 记 函数或简称为分布函数， 函数或简称为分布函数，记为 X ~ F ( x ) 。
−∞ −∞
求边缘密度函数。 【例 2.2】对例 2.1 中的 X = ( X 1 , X 2 )′ 求边缘密度函数。 】 解：
f ( x1 ) =
+∞
−∞
∫ f (x , x
1
2
) dx 2
+∞ − ( x1 + x2 ) e dx2 = e − x1 , x1 ≥ 0 ∫ ＝ 0 0, 其它
在实用中遇到的随机向量常常是服从正态分布或近似正态分 布，或虽本身不是正态分布，但它的样本均值近似于正态分 或虽本身不是正态分布， 布。因此现实世界中许多实际问题的解决办法都是以总体服 从正态分布或近似正态分布为前提的。在多元统计分析中， 从正态分布或近似正态分布为前提的。在多元统计分析中， 多元正态分布占有很重要地位， 多元正态分布占有很重要地位，本书所介绍的方法大都假定 数据来之多元正态分布。为此， 数据来之多元正态分布。为此，本章将要介绍多元正态分布 的定义和有关性质。 的定义和有关性质。 然而在实际问题中， 然而在实际问题中，多元正态分布中均值向量和协差阵通 常是未知的，一般的做法是由样本来估计。 常是未知的，一般的做法是由样本来估计。这是本章讨论的 重要内容之一， 重要内容之一，在此我们介绍最常见的最大似然估计法对参 数进行估计，并讨论其有关的性质。 数进行估计，并讨论其有关的性质。
为连续型随机变量， 则称 X 为连续型随机变量，称 f ( x1 , x 2 , L , x p ) 为分布密度函 数，简称为密度函数或分布密度。 简称为密度函数或分布密度。 一个 p 元函数 f ( x1 , x 2 , L , x p ) 能作为 R p 中某个随机向量的 密度函数的主要条件是： 密度函数的主要条件是： （ 1） f ( x1 , x 2 , L , x p ) ≥ 0 ， ∀( x1 , x 2 ,L, x p )′ ∈ R ； ）
第二章 多元正态分布的参数估计
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 引言 基本概念 多元正态分布 多元正态分布的参数估计 多元正态分布参数估计的 实例与计算机实现
第一节 引言
多元统计分析涉及到的都是随机向量或多个随机向量放在一 起组成的随机矩阵。例如在研究公司的运营情况时，要考虑 起组成的随机矩阵。例如在研究公司的运营情况时， 公司的获利能力、资金周转能力、 公司的获利能力、资金周转能力、竞争能力以及偿债能力等 财务指标；又如在研究国家财政收入时，税收收入、 财务指标；又如在研究国家财政收入时，税收收入、企业收 债务收入、国家能源交通重点建设基金收入、 入、债务收入、国家能源交通重点建设基金收入、基本建设 贷款归还收入、国家预算调节基金收入、 贷款归还收入、国家预算调节基金收入、其他收入等都是需 要同时考察的指标。显然，如果我们只研究一个指标或是将 要同时考察的指标。显然， 这些指标割裂开分别研究， 这些指标割裂开分别研究，是不能从整体上把握研究问题的 实质的，解决这些问题就需要多元统计分析方法。 实质的，解决这些问题就需要多元统计分析方法。为了更好 的探讨这些问题， 的探讨这些问题，本章我们首先论述有关随机向量的基本概 念和性质。 念和性质。
p
+∞
（ 2） L ）
−∞
∫ ∫ f (x , x
1 −∞
+∞
2
, L , x p )dx1 L dx p = 1
离散型随机向量的统计性质可由它的概率分布完全确定， 离散型随机向量的统计性质可由它的概率分布完全确定，连续 型随机向量的统计性质可由它的分布密度完全确定。 型随机向量的统计性质可由它的分布密度完全确定。
P ( X = xk ) = pk ， (k = 1, 2,L) 且 ∑ p k = 1 ，则称 X 为离散
k
型随机变量， 型随机变量，称 P ( X = xk ) = pk ，( k = 1, 2,L) 为 X 的概率分 布。 设 X ~ F ( x) ， 若存在一个非负函数 f (x) ， 使得一切实数 x 有：
(Hale Waihona Puke )X ，则 X = (2) ， X p −q
(1)
q
x (1) 相应的取值也可分为两部分 x = (2) 。 x
当 X 的分布函数是 F ( x1 , x2 ,L , xq ) 时， X (1) 的分布函数即边 缘分布函数为： 缘分布函数为：
F ( x1 , x2 ,L , xq ) = P ( X 1 ≤ x1 ,L , X q ≤ xq ) = P ( X 1 ≤ x1 ,L , X q ≤ xq , X q +1 ≤ ∞,L , X p ≤ ∞ ) = F ( x1 , x2 ,L , xq , ∞,L , ∞)
第二节 基本概念
一 随机向量
二 多元分布
三 随机向量的数字特征
一、随机向量
我们所讨论的是多个变量的总体，所研究的数据是同时 个 我们所讨论的是多个变量的总体，所研究的数据是同时p个 指标（变量），又进行了n次观测得到的 我们把这个p指标 ），又进行了 次观测得到的， 指标（变量），又进行了 次观测得到的，我们把这个 指标 表示为X 常用向量X 表示为 1 ，X2，…，Xp，常用向量 = (X1 ， X2 ， … ， XP)' 表示对同一个体观测的p个变量 这里我们应该强调， 个变量。 表示对同一个体观测的 个变量。这里我们应该强调，在多 元统计分析中，仍然将所研究对象的全体称为总体， 元统计分析中，仍然将所研究对象的全体称为总体，它是由 许多（有限和无限）的个体构成的集合， 许多（有限和无限）的个体构成的集合，如果构成总体的个 体是具有p个需要观测指标的个体 我们称这样的总体为p维 个需要观测指标的个体， 体是具有 个需要观测指标的个体，我们称这样的总体为 维 总体（ 元总体）。 总体（或p元总体）。上面的表示便于人们用数学方法去研 元总体）。上面的表示便于人们用数学方法去研 维总体的特性。 的概念， 究p维总体的特性。这里“维”（或“元”）的概念，表示 维总体的特性 这里“ 共有几个分量。若观测了n个个体 则可得到如表2.1的数据 个个体， 的数据， 共有几个分量。若观测了 个个体，则可得到如表 的数据， 称每一个个体的p个变量为一个样品 而全体n个样品组成一 个变量为一个样品， 称每一个个体的 个变量为一个样品，而全体 个样品组成一 个样本。 个样本。
（2.2） ） 记为 X ~ F ( x ) ， 其中 x = ( x1 , x2 , L , x p )′ ∈ R ， R 表