积分上限函数的应用 1 引言在一元函数的微积分学中，由于证明原函数存在定理和微积分基本公式的需要，引入积分上限函数，从而揭示了不定积分与定积分，微分与积分的内在联系，解决了定分的计算问题.积分上限函数，即变上限的定积分，这是一类新的函数.即具有与普遍函数相关的特征，又由于它的上限是变化的.因而有具有与许多与积分有关的特殊性质.我们利用积分上限函数可以简化计算和证明，下面举例说明积分上限函数在解题或证明中的应用.2 一元函数的积分上限函数2.1 一元函数的积分上限函数的定义定义1 [4] 对于某区间[],a b 上连续的函数()f x 设x 为 [],a b 上的任一点，变上限的定积分()xa f t dt ⎰，显然存在，当x 在[],ab 上任意变动时，对于每一个取定的x 的值，()xa f t dt ⎰就有一个对应的值，这样就在[],ab 上定义了一个新的函数——积分上限函数.一般记作()x θ=()xa f t dt ⎰()a xb ≤≤. 这个概念是一个较抽象的概念，我们可以结合几何解释。

()x Φ表示一个以()f x 为曲边的曲边梯形的面积，当x 给一个确定的值，()x Φ有一个确定的值，所以又称()x Φ()xa f t dt =⎰为面积函数.2.2 一元积分上限函数的应用2.2.1 积分上限函数在证明不等式中的应用对于有些含有定积分的不等式的证明，往往可以把积分上限变量看作参数而构造辅助函数，在通过求导确定函数的单调性的方法加以证明. 例1 设函数()f x 在[]0,1上连续且单调递减，证明：对任意的()0,1a ∈，均有()()100af x dx a f x dx >⎰⎰. 证明：构造函数()()01xF x f t dt x=⎰()01x <≤ 则()()()()()()02xf x x f t dtf x x f x f x f F xx xξξ--⋅-'===⎰()0x ξ<<.因为()f x 在[]0,1上单调递减，所以当0x ξ<<时，()()f f x ξ>，从而当01x <≤时，()0F x '<故()F x 在(]0,1单调递减，于是对任意的()0,1a ∈，有()()1F a F >，即()()1001af x dx f x dx a>⎰⎰，即()()100a f x dx a f x dx >⎰⎰.成立 2.2.2 积分上限函数在证明积分等式中的应用当积分等式中的定积分的上限（或下限）为字母时，可将它视为其变量，构造一个积分上限函数，通过证明积分上限函数的导数为零，即可推出要证的等式成立.例2 设()f x 是连续函数，证明()()()2320012aa f x x f x dx xf x dx =⎰⎰.证明：构造函数()()()()2320012a a F a f x x f x dx xf x dx =-⎰⎰.由积分上限函数的导数定理及复合函数的求导法则得()()()3221222F a a f a a a f a a '=⋅-⋅.因为()0F a '=，所以()F a c =，又因为()00F =，所以()0F a =， 故原等式成立.2.2.3 积分上限函数在证明积分中值定理中的应用例3 （积分中值定理[1]）若()f x 和()g x 在[],a b 内连续，且()g x 不变号，则存在(),a b ξ∈使()()()()bba a f x g x dx f g x dx ξ=⎰⎰. 证明： 作()F x ()()ba f x g x dx=⎰()xag x dx ⎰()bag x dx-⎰()()xaf xg t dt ⎰，则()F x 在[],a b 内连续，在(),a b 内可导，且()()0F a F b ==，由罗尔定理，存在(),a b ξ∈使()0F ξ'=，而()()()()()()()bba a F x f x g x dx g x g x dx f x g x '=⋅-⋅⎰⎰.()()()()()()()0bbaaF f x g x dx g g x dx f g ξξξξ'=-⋅-⋅=⎰⎰.因为()g x 不变号，所以()0G ξ'≠，则()()b a f x g x dx ⎰()()ba f g x dx ξ=⎰.2.2.4 积分上限函数在证明微分中值定理中的应用例4 （Lagrange 中值定理[1]）如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间[],a b 内可导，那么在区间内至少存在一点()a b ξξ<<，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.证明：把()()()()f b f a f b a ξ'-=-中的ξ换成t 得()()()()0f b f a f t b a '---=⎡⎤⎣⎦.[],x a b ∀∈将上式两边取积分有()()()()0xaf b f a f t b a dt '---=⎡⎤⎣⎦⎰积分得()()()()()()0f b f a x a f x f a x a -----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.令()()()()()()()x f b f a x a f x f a x a ϕ=-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，显然()()0b a ϕϕ==，且()x ϕ在[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，既()x ϕ满足罗尔定理条件，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0x ϕ'=，而()()()()()x f b f a f x b a ϕ''=---⎡⎤⎣⎦，则至少存在一点ξ使()()()()f b f a f b a ξ'-=-⎡⎤⎣⎦()a b ξ<<成立。

2.2.5 积分上限函数在证明原函数一致收敛性的应用例5 设函数列{()}n f x 在[],a b 上一致收敛于()f x ，且()n f x 在[],a b 上连续，则对应的原函数列{()}n F x 在上[],a b 也一致收敛于()nF x ，其中()()n x n aF x f t dt =⎰，()()xaF x f t dt =⎰.证明：因为在[],a b 上{()}n f x 一致收敛于()f x ，所以对0ε∀>，存在自然数N ，当n N >时,对任意[],x a b ∈, 有()()()2n f x f x b a ε-<-，即()()()()22n f x f x b a b a εε<-<---[],x a b ∈.对上式在[],a x 上积分得，()()()()()()22xxn aax a x a f t dt f t dt b a b a εε--≤-≤---⎰⎰ [],x a b ∈即，()()()()()()22n x a x a F x F x b a b a εε--≤-≤---，因为()012x ab a -<<-，[],x a b ∈，所以()()n F x F x εε-<-<，即()()n F x F x ε-<，[],x a b ∈.所以()n F x [],a b 在上一致收敛于()F x .2.2.6 积分上限函数在计算累次积分中的应用 例622sin xydx dy yππ⎰⎰ 解：令()2sin x yg x dy yπ=-⎰，则它是积分上限x 的函数. 因为()sin ,01,0yy y f y y ≠==在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，则()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上可导，且有()sin 010x x g x x x ≠'==02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()20sin 0yg dy y π=⎰存在. ()22200sin x ydx g x dx y πππ=⎰⎰⎰ ()()2020x g xg x dx ππ'=-⎰20sin 22x g dx xπππ⎛⎫=--⎪⎝⎭⎰20sin xdx π=-⎰ 1cos 2π=- 1=3 二元函数的积分上限函数3.1 二元函数的积分上限函数的定义定义2 [3]如果二元函数(),f x y 在区域[],:,D a b c d =上可积，则与定积分类似，积分上限函数的定义为()(),,xya c F x y f u v dudv =⋅⎰⎰.3.2 二元函数的积分上限函数的应用在某些题目中，可以构造积分上限函数来验证是否为全微分. 例7 验证是()()f x y dx dy +⋅+全微分，其中()f u 是连续函数， 解：令()()0,x yF x y f u du +=⎰（积分上限函数）由于()f u 连续，故有()(),,x F x y f x y '=，()(),y F x y f x y '+=并且他们都是,x y 的连续函数，因此(),F x y 可微，且()()(),x y dF x y F x y dx F x y dy ''=+++()()f x y dx dy =+⋅+.故()()f x y dx dy +⋅+是()F x y +的全微分. 4 小结在《数学分析》教材中，多处出现设立辅助函数的推理，是学习中的难点之一.练习题中也涉及若干抽象函数的定积分问题，若能变动其上限作为积分是上限函数，运用一些分析或初等方法，从而使问题迎刃而解.致谢 在本文的写作过程中得到了王汝军老师的精心指导，在此表示衷心的感谢.参 考 文 献[1]阎彦宗.关于积分上限函数分析性质的讨论[J].许昌学院学报，2003.[2]刘玉莲.《数学分析》（第2版）（上）.北京师范数学系[M].高等教育出版社，1992.6.[3]成舜.积分上限函数及其应用[J].广州教育学院.广州师专学报，1995（2）.[4]刘德芩编、葛琐网审.高等数学习题指导[M].兵器工业出版社，1988.[5]华东师大数学系编.数学分析[M].高等教育出版社（第三版）,1994。