湖北大学题目：积分上限函数的性质及其应用学院：数学与统计学院年级：研一专业方向：几何与方程作者姓名：陈勇学号：2014111104000639 出生年月：1990年05月性别男籍贯：湖南省汉寿县指导老师：陈立2015 年05月目录摘要 (II)Abstract (II)1引言 (1)2积分上限函数的性质 (1)2.1积分上限函数的初等性质 (1)2.2 积分上限函数的分析性质 (1)3积分上限函数的应用 (2)3.1利用积分上限函数证明积分等式与不等式 (2)3.2利用积分上限函数求幂级数的和函数 (2)3.3利用积分上限函数求解函数方程 (3)3.4利用积分上限函数确定全微分 (3)3.5利用积分上限函数求解导数 (3)3.6利用积分上限函数计算重积分 (4)3.7利用积分上限函数证明中值定理 (4)3.8利用积分上限函数求函数关系式 (5)3.9利用积分上限函数证明方程根的存在性 (5)4结束语 (5)致谢语 (5)参考文献 (6)积分上限函数的性质及其应用数学学院2014级2班陈勇摘要：积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数,对于积分上限函数的初等性质及分析性质的研究,能够深入了解其特性,并广泛用于解决一些微积分问题.本文例举了积分上限函数的若干应用,对初学者具有指导意义.关键词：积分上限函数;初等性质;分析性质;应用The Nature and Its Application of Integral Ceiling Function Class2, 2014,College of Mathematics ChenYongAbstract: Integral ceiling function is a class of the special form of function in calculus. In this paper, the primary nature of the integral ceiling function was discussed in-depth understanding to solve some problems in calculus. In the paper, Which have Integral upper limit function a number of applications. A guide for beginners.Key word: integral ceiling function; primary nature; analysis nature; applications1引言积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数，对积分上限函数的初等性质及分析性质进行研究，深入了解其特性,对于证明积分等式与不等式、求幂级数的和函数、求解函数方程、确定全微分等具有重要的作用. 因此全面的掌握积分上限函数的性质和恰当的运用显得尤为重要. 本文通过分析积分上限函数的性质, 得到几类典型的应用.2积分上限函数的性质2.1积分上限函数的初等性质定义1 如果函数)(x f 在],[b a 上可积，那么函数⎰=xadt t f x s )()((a ≤x ≤b )称为积分上限函数. 下面讨论与之有关的性质及其应用. (1) 单调性若)(x f 在],[b a 上可积, 且)(x f ≥0 ()(x f ≤0), 则积分上限函数⎰=xa dt t f x s )()(在],[b a 上单调递增（递减). (2) 奇偶性若)(x f 是连续函数且为奇函数，则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(是偶函数；若)(x f 连续函数且为偶函数，则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(奇函数.(3) 周期性若)(x f 是连续函数且周期为T , 则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(是周期函数, 或是一线性函数和一周期函数之和.(4) 有界性若)(x f 在],[b a 上可积，则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(在],[b a 上有界.2.2 积分上限函数的分析性质(1) 凹凸性若)(x f 在],[b a 上单调递增(递减), 则对∀),(b a c ∈, 积分上限函数⎰=xcdt t f x s )()(是凸函数(凹函数).(2) 连续性若)(x f 在],[b a 上可积, 则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(在],[b a 上连续(3) 可导性若)(x f 在],[b a 上连续, 则积分上限函数⎰=xadt t f x s )()(在],[b a 上可导, 并且()()()()xa d s x f t dt f x a xb dx'==≤≤⎰. (4) 可积性若函数()x f 在[]b a ,上连续,则函数()s x 在区间[]b a ,上可积.特别是,若函数()x f 连续,则有()()()⎰⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡aa x dx x f x a dx dt t f 000.3积分上限函数的应用3.1利用积分上限函数证明积分等式与不等式例1 设()x f 和()x g 在[]b a ,上连续,证明:至少存在一点()b a ,∈ξ,使()()()()⎰⎰=ξξξξabdx x f g dx x g f .证明 令()()()⎰⎰=bxx adt t g dt t f x F .由于()x f ,()x g 在[]b a ,上连续,所以()x F 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且()()b F a F =,由罗尔定理,至少存在一点()b a ,∈ξ,使得()0F ξ'=,而()()()()()b xxaF x f x g t dt g x f t dt '=-⎰⎰,从而()()()()()0b aF f g t dt g f t dt ξξξξξ'=-=⎰⎰,即()()()()⎰⎰=ξξξξab dx x f g dx x g f .例2 若()x f 和()x g 在[]b a ,上连续,则()()()()⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a dx x g x f dx x g x f 222.证明 令()()()()()222⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎰⎰⎰xa xa x adt t g t f dt t g dt t f x F ,则 ()()()()()()()()()22222x x xaaaF x f x g t dt g x f t dt f x g x f t g t dt '=++⎰⎰⎰()()()()()()()()[]⎰+⋅-=xadt x g t f t g t f x g x f t g x f 22222()()()()[]⎰≥-=xadt x g t f t g x f 02.所以()x F 在[]b a ,上单调增加,从而()()a F b F ≥.3.2利用积分上限函数求幂级数的和函数例3 求和函数1(1)nn n n x ∞=+∑.解 设),1,1(,)(11-∈=∑∞=+x nxx s n n 则12111()xn n n n s x dx nxxnx∞∞+-====∑∑⎰,设,)(111∑∞=-=n n nx x s 则 ,1)(11xxnx dx x s n n x-==∑⎰∞= 求导得,)1(1)(21x x s -=,)1()()(22102x x x s x dx x s x-==⎰再求导, 得.)1(2)(2x xx s -=3.3利用积分上限函数求解函数方程例4 设)(x f 在任意有限区间上可积且满足方程)()()(y f x f y x f +=+ (1) 试证：)(x f ax =，其中)1(f a =.证明 要证)(x f ax =，当0≠x 时即要证xx f )(=常数.或∀0,≠y x ，y y f x x f )()(=, 即x y f y x f )()(=在已知方程),()()(y f t f y t f +=+ 两边对t 取积分⎰⎰+=+xxx y f dt t f dt y t f 0,)()()(但⎰⎰⎰⎰++-==+xyx yyx ydt t f dt t f du u f dt y t f 00,)()()()(故⎰⎰⎰+--=yx yxdt t f dt t f dt t f y xf 0.)()()()(此式右端，y x ,以对称的形式出现.y x ,互换知x y f y x f )()(=， 从而)(x f ax =（当0≠x 时） (2) 在(1)中令1,0==y x ,得0)0(=f .可见(2)对于0=x 也成立.最后(2)中,令1=x ,可得)1(f a =.3.4利用积分上限函数确定全微分例5 验证)()(dy dx y x f +⋅+是全微分,其中)(u f 是连续函数. 证明 令()()⎰+=y x du u f y x F 0,,由于()u f 是连续函数,故()(),x F x y f x y '=+,()(),y F x y f x y '=+,且它们都是y x ,的连续函数,因此()()(),,x y dF x F x y dx F x y dy ''=+()()dy dx y x f +⋅+=. 即证()()dy dx y x f +⋅+是全微分.3.5利用积分上限函数求解导数例6 设)(x f 在0=x 的某个领域U 内连续,验证当U x ∈时,函数⎰---=x n dt t f t x n x 01)()()!1(1)(ϕ的各阶导数都有,且).()(x f x n =ϕ 证明 由于被积函数dt t f t x t x F n )()(),(1--=及偏导数),(t x F x '在U 上连续, 于是由定理可得 ⎰----='x n dt t f t x n n x 02)())(1()!1(1)(ϕ.)()()!2(1)()()!1(1021dt t f t x n x f x x n x n n ⎰----=--+.)()()!3(1)(03dt t f t x n x x n ⎰---=''ϕ 由此继续下去,求得k 阶导数为⎰-----=x k n k dt t f t x k n x 01)(.)()()!1(1)(ϕ 特别的当1-=n k 时有 ,)()(0)1(dt t f x xn ⎰=-ϕ于是).()()(x f x n =ϕ3.6利用积分上限函数计算重积分例7 设函数)(x f 在],[b a 连续,则.])([21)()(2dx x f dy y f x f dx ba b a bx ⎰⎰⎰=证明 dy y f x f dx b ab x)()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==b ab axab xb xdt t f d dy y f dx dt t f x f ))(())((])()([))(())((]))()(([⎰⎰⎰⎰⎰==xab axab ax adt t f d dt t f dx dt t f x f.))((21])([2122dt t f x f b ab a x a ⎰⎰== 3.7利用积分上限函数证明中值定理例8 微分中值定理：若函数()x f 在闭区间[]b a ,连续,在开区间()b a ,内可导,则在开区间()b a ,内至少存在一点()b c a c <<,使()()()()a b c f a f b f -=-.证明 把c 换成t ,则()()()()a b t f a f b f -=-.即()()[]()()0=---a b t f a f b f , []b a x ,∈∀,将上式两边取积分()()[]()()0=---⎰xadt a b t f a f b f ,即()()[]()()()[]()0=-----a x a f x f a x a f b f .令()()()[]()()()[]()a x a f x f a x a f b f x F -----=,显然()()0==a F b F ,且()x F 在[]b a ,内连续,在()b a ,可导,由罗尔定理,则至少存在一点()b c a c <<,使()0=x F ,而()()()[]()()a b x f a f b f x F ---=,故()()()()a b c f a f b f -=- ()b c a <<.例9 积分中值定理:若函数()x f 在闭区间[]b a ,连续,则在[]b a ,内至少存在一点c ,使得()()()a b c f dt t f ba-=⎰.证明 设()()⎰=xadt t f x F ,由于()x f 在闭区间[]b a ,连续,则()x F 在[]b a ,上连续,由拉格朗日中值定理,则至少存在一点()b a c ,∈,使()()()()a b c f dt t f dt t f aab a-=-⎰⎰,即()()()a b c f dt t f ba-=⎰.3.8利用积分上限函数求函数关系式例10 已知函数)(x f 当10≤≤x 时为x 2, 当12x <≤时为x +2, 求积分上限函数⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在]2,0[上的表达式.解 因为被积函数是分段函数, 所以通常计算定积分而确定)(x ϕ的表达式时也要分段考察.当10≤≤x 时,,2)()(2020x t tdt dt t f x xx x====⎰⎰ϕ 当12x <≤时,⎰⎰⎰+==11)()()()(xxdt t f dt t f dt t f x ϕ.23221)2(22101-+=++=⎰⎰x x dt t tdt x所以当10≤≤x 时为,)(2x x =ϕ 当12x <≤时为.232212-+x x3.9利用积分上限函数证明方程根的存在性例11设()x f 在[]b a ,上连续,且()x f >0, 又()()()⎰⎰+=xbx a dt t f dt t f x F 1.证明:()0=x F 在[]b a ,内有且仅有一个实根.证明 因为 ()()()()()211f x F x f x f x f x +'=+=, 而 ()()x f x f 212≥+,所以 ()20F x '≥≥.故()x F 在[]b a ,内单调增加,所以()0=x F 在[]b a ,内至多有一个实根.又 ()()⎰<=a b dt t f a F 01, ()()0>=⎰ba dt t fb F ,且()x F 在[]b a ,上连续,故根据的存在定理,在[]b a ,内()0=x F 至少有一个实根. 综上所述, ()0=x F 在[]b a ,内有一个且仅有一个实根.4.结束语综上所述，深刻理解积分上限函数的定义，准确掌握相关性质，是解决各种积分上限函数有关问题的关键，为解决实际问题提供了更多的方法,优化了解题途径,同时也存在着局限性,对适应范围存在着各种条件,这还有待于进一步研究.致谢语感谢陈立老师在论文过程中对我的悉心指导, 也感谢曾帮助我的同学们!参考文献[1]同济大学应用数学系.高等数学(第5 版)[M].北京:高等教育出版社,1999.[2] 高智民.原函数存在定理在不等式证明题中的应用[M].湖南师范大学学报,1997,16(2):14-15.[3]华东师大数学系.数学分析(第2 版)[M].北京:高等教育出版社,1999.[4]徐虎.积分上限函数的应用研究,内肛科技[M].中南大学学报,1997,17(2):15-16.[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993 .[6]余家荣.复变函数[M].北京:高等教育出版社,1992.[7]高鸿.积分上限函数的主要性质及其应用[M].湖南商学院学报,2001,27(2):47-48.[8]常庚哲,史济怀.数学分析教程:下册[M].北京:高等教育出版社,2003.。