σij
=
1
K +
v
⎛ ⎜⎝
εij
+
1
v − 2v
εkk
δ
ij
⎞ ⎟⎠
−
K µ
σ ij
+
K λ
ε ij
−
Kα 1 − 2v
Tδij .
(16)
利用微分形式的宏观力学三维本构方程(14)和
(16), 可以对 SMP 在实现形状记忆效应的热力学过
程中, 即高温变形过程、应力冻结过程、低温卸载过
程和形状恢复过程中的热力学行为, 进行数值模拟
程(12)不便于实现数值模拟计算, 需要建立 SMP 微
分形式的宏观力学本构方程. 将积分形式的本构方
程(12)的两端对时间求导数, 可得到用应力率表示应
变率的微分形式的宏观力学三维本构方程, 即
εij
=
(1 + v)σij − vσkkδij K
+
(1 + v)σ ij − vσ kkδij µ
中国科学: 物理学 力学 天文学 SCIENTIA SINICA Phys, Mech & Astron
论文
2010 年 第 40 卷 第 7 期: 896 ~ 903
《中国科学》杂志社
SCIENCE CHINA PRESS
形状记忆聚合物的宏观力学本构模型
− (1 + v)εij − vε kkδij λ
+ αTδij .
(14)
对(14)式进行张量缩并运算, 得
σ kk
=
K
⎛ ⎜ ⎝
1
εkk − 2v
− σ kk µ
+ ε kk λ
−
1
3α − 2v
T
⎞ ⎟ ⎠
.
(15)
将(15)式代入(14)式, 经整理可得到用应变率表示应
力率的微分形式的宏观力学三维本构方程, 即
ik
δ
jl
+
δ
ilδ
jk
)
−
vδ
ijδ
kl
⎤ ⎥⎦
,
(7)
其中 P 为塑性强化模量. 将(7)和(5)式代入(2)式, 并
利用应力张量的对称性 σij = σ ji , 得
ε ep ij
=
⎡1 ⎢⎣ E
+
H
(σ − P
σ
s
)
⎤ ⎥⎦
[(1
+
v)σ
ij
− vσ kkδij ].
(8)
897
周博等: 形状记忆聚合物的宏观力学本构模型
dτ
.
⎦
(10)
对于各向同性材料, SMP 的热膨胀应变张量
εt ij
= α (T
− T0 )δij ,
(11)
其中 α 为热膨胀系数, T 为温度, T0 为初始温度. 将 (8), (10)和(11)式代入(1)式, 得 SMP 积分形式的宏观
力学三维本构方程, 即
ε ij
=
(1 + v)σ ij − vσ kkδij K
周博①②*, 刘彦菊③, 冷劲松②*
① 哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院, 哈尔滨 150001; ② 哈尔滨工业大学复合材料与结构研究所, 哈尔滨 150080; ③ 哈尔滨工业大学航天科学与力学系, 哈尔滨 150001 * 联系人, E-mail: zhoubo@, lengjs@
SMP 总应变分解为弹塑性应变、黏性应变和热膨胀
应变, 即
ε ij
=
ε
ep ij
+
ε
v ij
+
ε
t ij
,
(1)
其中 εij 为应变张量,
ε ep ij
和
εv ij
和
εt ij
分别为弹塑性应
变张量、黏性应变张量和热膨胀应变张量. 根据固体
力学, 弹塑性应变张量可表示为应力张量的函数, 即
ε ep ij
收稿日期: 2009-08-12 ; 接受日期: 2010-03-01 国家高技术研究发展计划(编号: 2006AA03Z109)、国家自然科学基金(批准号: 95505010)、中国博士后科学基金(编号: 20080430933)、 哈尔滨市科技创新人才研究专项基金(编号: RC2009QN017046)和中央高校基本科研业务费专项基金资助项目
固态高聚物的黏性行为主要表现为蠕变与松弛
两个方面, 可通过黏性系数和延迟时间两个材料参 数定量地描述材料的黏性行为[7,18]. 本文将 SMP 的黏 性应变张量对时间的导数表示为
ε ivj
=
(1 + v)σ ij − vσ kkδij µ
− (1 + v)εij − vε kkδij λ
,
(9)
=
[
Se ijkl
+ H (σ
− σ s )Sijpkl ]σ kl ,
(2)
其中 σ kl 为应力张量, σ s 为塑性屈服极限,
σ
=
⎡ ⎢⎣
3 2
⎛ ⎜⎝
σ
ij
−
1 3
σ
kk
⎞ ⎟⎠
⎛ ⎜⎝
σ
ij
−
1 3
σ
kk
⎞ ⎤ 0.5 ⎟⎠⎥⎦
(3)
为等效应力,
H (σ e
−σ
p
)
=
⎧⎪1 ⎨⎪⎩ 0
(σ e > σ p ), (σ e ≤ σ p )
关键词 形状记忆聚合物, 形状记忆效应, 力学本构方程, 材料参数方程
PACS: 46.35.+z, Nhomakorabea46.05.+b, 46.25.Hf
形状记忆聚合物(SMP)是继形状记忆合金在 20 世纪 60 年代取得巨大进展后, 在 20 世纪 80 年代发 展起来的又一新型形状记忆材料[1~3]. SMP 形状记忆 效应的实现包括高温变形、应力冻结、低温卸载及形 状恢复四个热力学过程. SMP 具有变形量大、赋形容 易、形状恢复温度便于调整、易着色、可印刷、质轻 耐用、价格低廉等特点, 在电力电子、航空航天、包 装、医疗、智能控制系统等领域得到日益广泛应用[4~6]. 广泛的工程应用需要能有效描述 SMP 实现形状记忆 效应热力学过程、且便于实际应用的热力学本构模型.
1 三维本构模型
1.1 力学本构方程
与普通固体材料不同, 高聚物的力学行为与温
度变化率(加热率和冷却率)、加载率(应力率和应变率)
均有密切的关系, 这是构成聚合物的大分子链在不 同热力学条件下的运动结果[16]. 根据固体力学和热
黏弹性理论, 可将影响 SMP 力学行为的因素概括为
弹塑性、黏性和热膨胀三个方面. 为便于研究, 将
⎡ ⎢⎣
1 2
(1
+
v)(δ
ik
δ
jl
+
δ
il
δ
jk
)
−
vδ
ijδ
kl
⎤ ⎥⎦
,
(5)
其中 E 为弹性模量, v 为 Poisson 比,
δ ij
=
⎧1 ⎨⎩ 0
(i = j), (i ≠ j)
(6)
为 Kronecker 符号. 本文将塑性柔度张量表示为
Sp ijkl
=
1 P
⎡ ⎢⎣
1 2
(1
+
v)(δ
引用格式: 周博, 刘彦菊, 冷劲松. 形状记忆聚合物的宏观力学本构模型. 中国科学: 物理学 力学 天文学, 2010, 40: 896 ~ 903
中国科学: 物理学 力学 天文学 2010 年 第 40 卷 第 7 期
义中尺度力学的概念, 建立了描述 SMP 热力学行为 的细观力学三维本构模型. 2008 年, Chen 等人[11,12]在 Liu 等人[9]工作的基础上, 借鉴研究形状记忆合金马 氏体相变的研究经验, 解释了 SMP 形状记忆效应的 细观机理, 分别建立了描述 SMP 小变形和大变形力 学行为的细观力学三维本构模型. 2009 年, 李郑发等 人[13]在 Liu 等人[9]研究工作的基础上, 借鉴聚合物结 晶学相关理论, 建立了描述 SMP 力学行为的微观力 学三维本构模型, 有效地解释了 SMP 形状记忆效应 的微观机理. 2009 年, Zhou 等人[14]对 SMP 发生在橡 胶态和玻璃态间的玻璃体转化行为进行了实验研究, 建立了描述 SMP 玻璃体转化行为的玻璃体转化模型. 2009 年, 周博等人[15]利用 Tobushi 等人[7]建立的 SMP 本构模型, 开发了可供 ABAQUS 调用的材料库函数, 对 SMP 力学行为进行了有限元模拟分析.
∫+
t 0
⎡ ⎢(1 ⎢⎣
+
v)
⎛ ⎜ ⎝
σ ij µ
− εij λ
⎞ ⎟ ⎠
−
v
⎛ ⎜ ⎝
σ kk µ
− ε kk λ
⎞ ⎟ ⎠
δ
ij
⎤ ⎥ ⎥⎦
dτ
+ α (T − T0 )δij ,
(12)
其中
K
=
⎡1 ⎢⎣ E
+
H (σ − σ s ) ⎤−1 P ⎥⎦
(13)
称为弹塑性模量. 积分形式的宏观力学三维本构方
计算. 在已知应力率的情况下, 利用(14)式可以方便
地对 SMP 的热力学行为进行数值模拟计算; 在已知
应变率的情况下, 利用(16)式可以方便对 SMP 的热
力学行为进行数值模拟计算.