人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.锐角中，已知，，则的取值范围是A. ，B. ，C. ，D. ，2.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，则的形状为A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形3.在中，，，，则的值等于A. B. C. D.4.在中，有正弦定理：定值，这个定值就是的外接圆的直径如图2所示，中，已知，点M在直线EF上从左到右运动点M不与E、F重合，对于M的每一个位置，记的外接圆面积与的外接圆面积的比值为，那么A. 先变小再变大B. 仅当M为线段EF的中点时，取得最大值C. 先变大再变小D. 是一个定值5.已知三角形ABC中，，边上的中线长为3，当三角形ABC的面积最大时，AB的长为A. B. C. D.6.在中，，，分别为内角，，所对的边，，且满足若点O是外一点，，，平面四边形OACB 面积的最大值是A. B. C. 3 D.7.在中，，， ，则使有两解的x的范围是A. ，B. ，C. ，D. ，8.的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则的面积为A. B. C. D. 19.在中，若，则是A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形10.在中，已知，，分别为， ， 的对边，则为A. B. 1 C. 或1 D.11.设锐角的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且，，则b的取值范围为A. ，B. ，C. ，D. ，12.在中，内角，，所对边的长分别为，，，且满足，若，则的最大值为A. B. 3 C. D. 9二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）13.设的内角，，所对的边分别为，，且，则角A的大小为______ ；若，则的周长l的取值范围为______ ．14.在中，， ， 所对边的长分别为，，已知，，则______ ．15.已知中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则的形状是______ ．16.在中，若，则的形状为______ ．17.在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则______ ．18.如果满足，，的三角形恰有一个，那么k的取值范围是______ ．19.已知的三个内角，，的对边依次为，，，外接圆半径为1，且满足，则面积的最大值为______ ．三、解答题（本大题共11小题，共132.0分）20.在锐角中，，，是角，，的对边，且．求角C的大小；若，且的面积为，求c的值．21.在中，角，，的对边分别为，，已知．求角A的大小；若，，求的面积．第2页，共23页22.已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．求角C的大小；若边长，求的周长最大值．23.已知函数，．求函数的最小值和最小正周期；已知内角，，的对边分别为，，，且，，若向量，与，共线，求，的值．24.已知中，，，，求的外接圆半径和角C的值；求的取值范围．25.中，角，，的对边分别是，，且满足，求角B的大小；若的面积为为且，求的值．26.已知，，分别为的三个内角，，的对边，且求角A的大小；求的面积的最大值．27.已知函数．Ⅰ当，时，求函数的单调递增区间；Ⅱ若方程在，内恒有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．28.已知A、B、C是的三个内角，向量，，，，且；求角A；若，求．29.在中，角，，的对边分别是，，，已知求的值若，求边c的值．第4页，共23页30.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足：求角C的大小；若，求的取值范围．答案和解析【答案】1. D2. A3. A4. D5. A6. A7. D8. B9. B10. B11. A12. A13. ；，14.15. 等腰三角形或直角三角形16. 等腰三角形或直角三角形17.18. 或19.20. 解：是锐角，，，是角，，的对边，且．由正弦定理得：是锐角，，故；，且的面积为，根据的面积解得：．由余弦定理得．故得c的值为．21. 本题满分为14分解：，由正弦定理得分又，从而分由于，所以分解法一：由余弦定理，而，，，分得，即．因为，所以分故的面积为分解法二：由正弦定理，得，从而，分又由知，第6页，共23页所以．故分所以的面积为分22. 解：由已知，根据正弦定理，得，，即．由余弦定理得．又，．所以．，，，，可得：，，由可知，，可得：．的取值范围，23. 解：由于函数，故函数的最小值为，最小正周期为．中，由于，可得，．再由向量，与，共线可得．再结合正弦定理可得，且．故有，化简可得，，．再由可得，解得，．24. 解：由正弦定理，．再由，，可得，故有，即．再由，可得，．由于．再由，可得，，，即的取值范围为，．25. 解：又，即，，将，利用正弦定理化简得：，，在中，，，，又，则的面积为，，，，又，，由余弦定理得：，，则26. 解：中，，且，利用正弦定理可得，即，即，，．再由，利用基本不等式可得，，当且仅当时，取等号，此时，为等边三角形，它的面积为，故的面积的最大值为：．27. 解：令解得：由于，的单调递增区间为：，和，Ⅱ依题意：由解得：第8页，共23页设函数与由于在同一坐标系内两函数在，内恒有两个不相等的交点．因为：，所以：，根据函数的图象：当，，，，当，时，，，，所以：28. 解：，，，，，，．由题知，，，，．．29. 解：由得即，由余弦定理得30. 本题满分为12分解：在中，，由正弦定理可得：，即，分，由C为三角形内角，分由可知，分分，，，的取值范围为，分【解析】1. 解：由正弦定理可得，，，，为锐角三角形，，且，，，，，，即，第10页，共23页，，由余弦定理可得：，可得：，，．故选：D．由正弦定理可得，，结合已知可先表示，，然后由为锐角三角形及可求B的范围，再把所求的bc用，表示，利用三角公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求bc的范围，由余弦定理可得，从而可求范围．本题综合考查了正弦定理和面积公式及两角和与差的正弦、余弦公式及辅助角公式的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用，属于中档题．2. 解：因为，所以，所以，即，因为，，是三角形内角，所以．三角形为等腰三角形．故选：A．通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形的判断，考查计算能力，属于基础题．3. 解：，，，，，，．故选：A．先利用面积公式求得c的值，进而利用余弦定理可求a，再利用正弦定理求解比值．本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解．4. 解：设的外接圆半径为，的外接圆半径为，则由题意，，点M在直线EF上从左到右运动点M不与E、F重合，对于M的每一个位置，由正弦定理可得：，，又，，可得：，可得：．故选：D．设的外接圆半径为，的外接圆半径为，则由题意，，由正弦定理可得：，，结合，，可得，即可得解．第12页，共23页本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于基础题．5. 解：设 ， ． 设三角形的顶角 ，则由余弦定理得，，根据公式三角形面积，当 时，三角形面积有最大值 此时 ．AB 的长： ． 故选：A ．设 ，三角形的顶角 ，则由余弦定理求得 的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得 ，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值时的x 即可．本题主要考查函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力 运算量较大．6. 解： 中， ，，，即 ， ，又 ， 为等边三角形．． ，，故当时，取得最大值为1， 故 的最大值为， 故选：A ．依题意，可求得 为等边三角形，利用三角形的面积公式与余弦定理可求得，从而可求得平面四边形OACB 面积的最大值．题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦定理的应用，求得是解题的关键，也是难点，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题． 7. 解：结合图形可知，三角形有两解的条件为， ， ， ，则使 有两解的x 的范围是 ， 故选：D ．根据题意画出图形，由题意得到三角形有两解的条件为，，即可确定出x的范围．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，画出正确的图形是解本题的关键．8. 解：由于，由向量加法的几何意义，O为边BC中点，的外接圆的圆心为O，半径为1，三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形，，斜边，又，，，．故选：B．由，利用向量加法的几何意义得出是以A为直角的直角三角形，又，从而可求，的值，利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了平面向量及应用，三角形面积的求法，属于基本知识的考查．9. 解：由题意，即，亦即，，，，，故选：B．利用可得，再利用两角和差的余弦可求．本题主要考查两角和差的余弦公式的运用，考查三角函数与解三角形的结合属于基础题．10. 解：，，，故选B．先通过余弦定理求得ab和的关系式对原式进行通分，把ab的表达式代入即可．本题主要考查了余弦定理的应用解题的关键是找到，和c的关系式．11. 解：锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、，，，且，．，，，，由正弦定理可得：，，则b的取值范围为，故选A由题意可得，且，解得A的范围，可得的范围，由正弦定理求得，根据的范围确定出b范围即可．此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键是确定出A的范围．12. 解：，由正弦定理，得，，又，，．由余弦定理可得：，可得：，即有：，代入：可得：，的最大值为．故选：A．利用正弦定理化边为角，可求导，由此可得B，由余弦定理可得：，由基本不等式可得：，代入：可得的最大值．该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，基本不等式的应用，考查学生运用知识解决问题的能力，属于中档题．13. 解：变形得：，利用正弦定理得：，，即，由，得到，又A为三角形的内角，则；，，，即，，即，，则的周长，，，，即，第14页，共23页则l范围为，．故答案为：；，将已知的等式左右两边都乘以2变形后，利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式变形，根据不为0，得出的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；由A的度数求出的值，及的度数，用B表示出C，由正弦定理表示出b与c，而三角形ABC的周长，将表示出的b与c，及a的值代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即可得到l的范围．此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，利用了转化的思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．14. 解：在中，，由正弦定理可得，，联立可解得，由余弦定理可得，再由二倍角公式可得，解得或，再由三角形内角的范围可得，故故答案为：由题意和正弦定理可得，代入余弦定理可得，由二倍角公式和三角形内角的范围可得．本题考查解三角形，涉及正余弦定理和二倍角公式，属中档题．15. 解：将，代入已知等式得：，整理得：，当，即时，为直角三角形；当时，得到，为等腰三角形，则为等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰三角形或直角三角形．利用余弦定理表示出与，代入已知等式，整理后即可确定出三角形形状．此题考查了余弦定理，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．16. 解：原式可化为或或．故答案为等腰三角形或直角三角形左边利用正弦定理，右边“切变弦”，对原式进行化简整理进而可得A和B的关系，得到答案．本题主要考查了正弦定理的应用考查了学生利用正弦定理解决三角形问题的能力．17. 解：由已知，即，根据正弦定理，得，，即．由余弦定理得．又，所以．，可得，所以，三角形是正三角形，．故答案为：．通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出C的余弦值，得到C的值通过，求出，的值，推出三角形的形状，然后求解数量积的值．本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值的求法三角形形状的判断，向量数量积的应用，考查计算能力．18. 解：当，即，即时，三角形无解；当，即，即时，三角形有解；当，即，即，三角形有个解；当，即时，三角形有1个解．综上所述：当或时，三角形恰有一个解．故答案为：或要对三角形解得各种情况进行讨论即：无解、有1个解、有2个解，从中得出恰有一个解时k满足的条件．本题主要考查三角形解得个数问题，重在讨论易错点在于可能漏掉这种情况．19. 解：由，利用正弦定理可得：，，，，，，即，，，即，，，第16页，共23页当且仅当时，取等号，面积为，则面积的最大值为：．故答案为：．利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据不为0，可得出的值，然后利用余弦定理表示出，根据的值，得出，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出bc 的最大值，进而由的值及bc的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 面积的最大值．此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．20. 利用正弦定理可求角C的大小直接利用的面积求解出b，再用余弦定理可得．本题考查了正弦定理，余弦定理的运用和计算能力．21. 由弦定理化简已知可得，结合，可求，结合范围，可求A的值．解法一：由余弦定理整理可得：即可解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．解法二：由正弦定理可求的值，利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，大边对大角，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．22. 通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出C的余弦值，得到C的值．由已知利用正弦定理可得，，利用三角函数恒等变换的应用化简可求，根据的范围，利用正弦函数的图象和性质得到结果．本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值的求法，以及三角函数恒等变换的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．23. 化简函数的解析式为，可得函数的最小值为，最小正周期为．中，由，求得再由向量，与，共线可得，再由可得，化简求得，故再由正弦定理求得a、b的值．本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理、两个向量共线的性质，属于中档题．24. 由正弦定理求得外接圆半径再由，，可得，化简得．再由，可得，由此可得C的值．由于再由，利用正弦函数的定义域和值域求得的范围，即可求得的取值范围．本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．25. 结合三角形的内角和定理及诱导公式可得，再对已知，利用正弦定理化简可求B结合三角形的面积公式，可求ac，由已知，，再利用余弦定理可求本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用，解决此类问题的关键是要是考生具备综合应用公式的能力26. 由条件利用正弦定理可得再由余弦定理可得．利用基本不等式可得，当且仅当时，取等号，此时，为等边三角形，从而求得面积的最大值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．27. Ⅰ首先利用三角函数的恒等变换，变形成正弦型函数进一步利用函数的单调性求函数在固定区间内的增减区间．Ⅱ把求方程的解得问题转化成求函数的交点问题，进一步利用函数的性质求参数的取值范围．本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的单调性，在同一坐标系内的利用两函数的交点问题求参数的取值范围问题．28. 利用向量共线定理可得：，再利用和差公式、三角函数求值即可得出．由题知，利用倍角公式化为，因此，解得再利用，展开代入即可得出．本题考查了向量共线定理、和差公式、三角函数求值、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．29. 利用二倍角公式将已知等式化简；将得到的式子平方，利用三角函数的平方关系求出．利用求出的三角函数的值将角C的范围缩小，求出C的余弦；将已知等式配方求出边，；利用余弦定理求出c本题考查三角函数的二倍角公式、同角三角函数的平方关系、考查三角形中的余弦定理．30. 利用正弦正理化简已知等式可得：，由余弦定理可得求得，结合A的范围，即可求得A的值．第18页，共23页由正弦定理用、表示出a、b，由内角和定理求出A与B的关系式，代入利用两角和与差的正弦公式化简，根据A的范围和正弦函数的性质得出的取值范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了两角和差的正弦函数公式，解题时注意分析角的范围，属于中档题．赠送以下资料考试知识点技巧大全一、考试中途应饮葡萄糖水大脑是记忆的场所，脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活动,大脑细胞活动需要大量能量。