例1.2两台车床加工同一种零件，从这100个零件中任取一个.设取得合格品为事件A，取得的是第1台加工的为B1，取得的是由第2台加工的为B2。

求由各台车床加工时，出合格品的概率？解：由第一台加工出合格品的概率为，由第一台加工出合格品的概率为，由概率的古典定义：由条件概率公式求，121212()()0.350.5()0.875,()0.833()0.4()0.6P AB P ABP A B P A BP B P B===≈＝＝例1.5（例1.2续）求：取出的合格品是由第一台车床加工的概率？解：取出的合格品是由第一台车床加工的概率由贝叶斯公式，得：例 1.10已知：求：①○2解：①解②：由分布函数的图可得例1.15设二维随机变量( X,Y)的概率密度(),0,0(,)0,x ye x yf x y-+⎧<<∞<<∞=⎨⎩其它求：①分布函数？②落在如图所示的三角形域G内的概率？③求边缘分布函数(|)Xf x y和()YF y。

④求边缘概率密度()Xf x和()Yf y。

⑤求条件分布函数(|)XF x y和(|)YF y x。

⑥求条件概率密度(|)Xf x y和(|)Yf y x。

⑦X和Y是否统计独立？解：①分布函数②落在三角形域G内的概率1()P A B2()P A B1212()851000.85()401000.4,()601000.6()351000.35()501000.5P A P B P BP A B P A B==========，，1()P B A121112()0.35()0.5()0.35()0.41()()0.350.5P AB P ABP ABP B AP AB P AB====≈++，(0.5),(1 1.5),(1 1.5)P X P X P X≤<≤≤≤？()()(0)00(1)(0)1/301(2)(0)(1)1/212(2)(0)(1)F x P X xP x xP X P X xP X P X P X xP X P X P X P=≤<=<⎧⎪<===≤<⎪=⎨<==+==≤<⎪⎪>==+=+==≤⎩(0.5)(0.5)13(1 1.5)(1.5)(1)1210(1 1.5)(1.5)(1)(1)16P X FP X F FP X F F P X≤==<≤=-=-=≤≤=-+==00(,)(,)(,)0,0(1)(1),0,0x yXYx yx yF x y f u v dudvf u v dudv x ye e x y-∞-∞--=⎧<<∞<<∞⎪=⎨⎪⎩⎧--<<∞<<∞=⎨⎩⎰⎰⎰⎰其它，其它11()001111000111{(,)}(,)[](1)()120.2642yx yX YGyy x y yyP x y G f x y dxdy e dxdye e dx dy e e dye e dy e--+-----+---∈====⋅-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2()1g X X=+()?F x=例1.22 随机变量X 在区间(a,b)上均匀分布，求 的数学期望。

解：由于X 服从均匀分布，概率密度为函数的期望例2.4 设随机过程 式中， 皆为常数， 是在 上均匀分布的随机变量。

试问： X( t )是否是平稳随机过程？为什么？ 解：由题意可知，随机变量 的概率密度为： 因而，我们根据定义式，求得过程X (t) 的均值，自相关函数和均方值分别为可见，自相关函数仅与时间间隔 有关，均方值为“ ” 有限，故过程X( t )是宽平稳过程。

例2.6 已知平稳过程X(t)的自相关函数为24()3615X R t t=++，求X(t)得均值和方差。

解：由平稳随机过程自相关函数的性质，2()36X X m R =?6X m ?= 2(0)()40364XX X R R s=-?-=例3·4 已知平稳过程X(t) 具有功率谱密度： 求其自相关函数，平均功率，均方值。

解：利用部分分式法 利用傅氏变换对:∴自相关函数为： 平均功率为：均方值：2484()(0)51515XE X t R 轾==-=臌1,()0,a x b f x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它22221[()]()()(1)11()13b X ab aE g X g x f x dx x dx b ax dx a ab b b a∞-∞==+-+==+++-⎰⎰⎰0()cos()X t t a w F =+0,a w F (0,2)p F 1/2,02()0,f p f pf Fì<<ï=íïî其他200()[()]()()1cos()02X m t E X t x t f d t d p f fa w f f p F ¥- ===+?òò22[()](,)(0)2X X E X t R t t R a ===< t 22α1200200022000020(,)(,)[()()][cos()cos(())][cos cos(22)]21[cos cos(22)]22cos ()2X X X R t t R t t E X t X t E t t E t t d R p t t a w a w t a w t w w t aw t w w t f f pa w t t F F F =+=+=+?+=+++=+++==ò4216()1336X G w w w =++22222216()(4)(9)16164486554954159XG w w w w w w w =++=-=? ++++222e a t a a w 轾-犏Û犏+臌2348()515X R e ettt --=? (0)()2348484515515150X X R R e e P τττττ===⎡--⎤=⋅-⋅=-=⎢⎥⎣⎦=例4.3如图所示的低通RC 电路，已知输入信号X(t)是宽平稳的 双侧信号，其均值为m X ，求输出均值。

解：由电路知识可得此系统的冲激响应为：h(t)=be -bt U(t)， 其中b=1/RC 。

则其输出均值为0|bu Y X X X bum m bedu m em ∞-∞-==-=⎰4.4 X(t)是相关函数为0()2N δτ的白噪声求：（1）输出的自相关函数。

（2）输出的平均功率 （3）输入与输出间的互相关函数()XY R τ()YX R τ 解：1）由题意知0()()2X N R τδτ=输出自相关函数0000()()[()()]2()()2Y N R h u u v h v dv duN h u h u duτδττ∞∞∞∴=+-⋅=+⎰⎰⎰当输入是白噪声时，该系统输出的自相关函数正比于单位冲激响应函数的卷积。

于是，00()()()()()()2Y N b u buR beU u beU u du τττ∞-+-=+⎰按 0τ≥ 与0τ< 两种情况求解： 当 0τ≥ 时，有20002()24Y N b N b b bub R eedu eτττ∞---==⎰利用自相关函数的偶对称性，则当 0τ< 时有：0()()4Y Y N b b R R e τττ=-=合并0τ≥ 和0τ< 的结果，得到输出自相关函数：0||()||4Y N b b R e τττ-=<∞，2）在上式中令 0τ= ，即可得输出的平均功率为20[()](0)4Y Y N b E Y t R ===P由于b 是时间常数RC 的倒数，它也与系统的半功率带宽 f ∆有关。

其中：1(H Z )22b f R Cππ∆==于是输出平均功率又可写为 ：2[()]2Y N E Y t f π==⋅∆P由此可见，该系统的输出平均功率随着系统的带宽变宽而线性的增大。

3）0000()()()()()222X Y N N N b b R u h u du h e U ττδτττ∞-=-==⎰0000()()()()()222YX N N N b b R u h u du h e U ττδτττ∞=+=-=-⎰例4.5在例4.4 中假设X(t)的自相关函数为0||()4X N R eβτβτ-= 式中b β≠，求输出的自相关函数。

解：2||()()()()4Y X u v bubvR R u v h u h v dudvN e b eedudvβτττβ∞∞∞∞-+---=+-=⋅⋅⎰⎰⎰⎰当0τ≥时，考虑到u ，v 均在0~∞之间变化，故先对v 积分方便。

2002022()()()04()04()Y u v u v bububu b N bu R ee e dv e e dv duu N bee b bβτβτβττβτττββτβ∞-+-+------⋅+∞⎡⎤=⋅+⋅⎢⎥+⎣⎦⋅=-≥-⎰⎰⎰，因自相关函数为τ的偶函数，所以0τ<时的()Y R τ表达式直接能直接由0τ≥时的表达式()Y R τ- 写出。

综合可得：2022||||()()4()Y b N bR eeb b βττββτβ--⋅=--例4.6、 利用频域分析法重做例4.4 解：因为 00()()()22X X N N R G τδτω=↔=()()()b bt h t be U t H b j ωω-=⋅↔=+2222()bH b ωω∴=+ 22022()()()2Y X N bG G H b ωωωω=⋅=⋅+0()4Y b N b R eττ-∴=⋅例4.7 利用频域分析法重做例4.5 解：20022||()()42()X X N N R eG βββττωβω⋅-=↔=+所以2220222220222222()()()2()()224()Y X N b G H G b N b b b b b βωωωωβωβββββωω⋅⋅==++⋅⎡⎤=⋅-⋅⎢⎥-++⎣⎦对上式两边取傅里叶反变换得：12110222222222()[()]22[][]4()||||4()Y Y R FG b N bF F b b b b N b e e b b τωβββββωωβββττβ---=⋅⎧⎫=⋅-⎨⎬-++⎩⎭⋅⎡⎤--=-⋅⎢⎥-⎣⎦例4.8 设计一稳定的线性系统，使其在具有单位谱的白噪声激励下输出功率谱为： 2422549()109Y G ωωωω+=++解：()Y G ω的复频域表达式为 2424925()109Y sG s s s -=-+ 进行谱分解有：22(75)(75)(75)(75)()(1)(9)(1)(3)(1)(3)Y s s s s G s s s s s s s +-+-==⋅--++--令75()(1)(3)Y s G s s s ±=++ (75)()(1)(3)Y s G s s s -=--因()Y G s 位于S 平面的所有极点121,3s s =-=-均在左半平面，所以选()Y G s 为()H s 。