B
N AB 2P、N AC 3P(压)
2)求变形
30
a
C
A
N AB
P
N AC
P
N N l 2 P 2 2a P yA EA EA 3 P ( 3 ) 3a EA (8 3 3 ) Pa ( ) EA
例 911-4-5 4 4 用卡氏第二定理求梁中 点A处的挠度。 例
解：外力功等于应变能
W U fC
思考：分布荷载时，可 否用此法求C点位移？
Pa 6 EI
q
例11-1-2 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点 受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。 解：用能量法（外力功等于应变能） 1、求内力
P A
P A
R

M
R
n
T
t
弯矩: M ( ) PR sin 扭矩: T ( ) PR(1 cos )
先作用 P1， 再 作 用 P2， 则 总 功 1 1 W1 P1 11 P1 12 P2 22 2 2 先作用 P2， 再 作 用 P1， 则 总 功 1 1 W2 P2 22 P2 21 P1 11 2 2
A
1
12
2 P2 22
B
A
1 P1 2 P2
L
T ( x ) T ( x ) M ( x ) M ( x ) dx dx L GI P Pn EI Pn
例11-4-1 结构如图，用卡氏定理求A截面的挠度和转角。
EI
L x
O
P
解：1) 求挠度，建立坐标系 ① 求内力 M ( x) xPA xP
A
② 将内力对P A求偏导
l qlx 2
l 3 x x1 qx13 dx 2 ( qlx1 )dx1 2 4 yA 8 2 8 EI EI 0 0
()
qa l 3 qa l 3 q l 4 5qa 4 ( ) ( ) ( ) 48 EI 2 16 EI 2 16 EI 2 768EI
U U1 U2 P1 l2 U1 U2 P2 l1
结论：变形能与加载次序无关。
例11-1-1 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。
P
1 W Pf C A 2 B x C M 2 ( x) U dx L a a 2 EI P f M ( x) x ; (0 x a ) 2 a 1 P 2 P 2a 3 ( x ) dx 在应用对称性，得： U 20 2 EI 2 12EI 3
11 12
B
22
A
1 P1
11
2 P2 22 21
B
A
1 P1 2
11
21
B
线弹性体，载荷作功与加载次序 无关，只取决于载荷的终值。
A
1
12
2 P2 22
B
W1 W2
P1 12 P2 21
称为功的互等定理。
若 令 ： P1 P2
12 21
a
D
AB
l 2a
M M dx EI M e
a
2a

0
Pxdx Pady ( Pa Px1 )dx1 EI EI EI 0 0
a
3a
( Px2 )dx2 ( 2 Pa)dy1 4 Pa2 EI EI EI 0 0
(方向反）
例11-4-8 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。 求挠曲线——任意点的挠度 f（x）
解：如图11-4b所示，在点 C及点D应加一对大小相等，方向相反， 且均垂直于杆CD的力。根据功的互等定理，这里有:
F B F lCD
F B F 0.08kN lCD
§13-3
一、定理证明
P1
卡氏定理
1、先给物体加P1、 P2、•••、 Pn 个力，则：
U U ( P1 , P2 ,..., Pn , ...)
材料力学
第十一章
§11–1 §11–2 §11–3 §11–4 §11–5 §11–6
能量法
杆件的变形能计算 功的互等定理和位移互等定理 卡氏定理 虚功原理 单位载荷法 计算莫尔积分的图乘法
§11－1 一、能量原理：
杆件的变形能计算 U=W
二、杆件变形能的计算
1、轴向拉压杆的变形能计算：
U L
M ( x ) x PA
③求挠度
U M ( x ) M ( x ) fA dx L PA EI PA

0
L
3 PL Px dx EI 3 EI
2
2)、求转角 A：
P
MA
由于没有与A向相对应的力 （广义力），加MA 。 ① 求内力 M ( x ) xP M A
3、外力功等于应变能 3 3 3 PR PR P W fA U fA 2GI P 2 EI 2
§11-2 功的互等定理和位移互等定理
A 1 P1 2
11
21
B
梁AB， 在1点 作 用 P1， 引 起 1点 的 位 移 11、 2点 的 位 移 21；
梁AB， 在2点 作 用 P2， 引 起 2点 的 位 移 22、 1点 的 位 移 12；
② 将内力对MA求偏导后，令MA=0
M ( x ) M A M
A
L
x O
1
A 0
③ 求转角（ 注意：MA = 0）
A
A
L
L 2 M ( x ) M ( x ) Px PL dx dx EI M A 2 EI EI 0
2
PL 2 EI
“负号”说明A 与所加广义力MA反向。
Px 2 ( 3l x ) 6 EI
§11－4
虚功原理
虚功原理又称为虚位移原理，在理论力学中，讨论过质 点系的虚位移原理，它表述为，质点系平衡的充要条件是作 用在质点系上的所有各力在质点系的任何虚位移上所作的总 虚功等于零，即
2
2
M 2( x ) 2 EI
dx
注意:变形能是力的二次函数，因此，引起同一 基本变形的一组外力在杆内所产生的变形能，并不等 于各力分别作用时产生的变形能之和。
例如：
EA EA EA

P1 P2

P1 P2
( P1 P2 )2 L U 2 EA P12 L P2 2 L P1 P2 L 2 EA 2 EA EA U1 U 2
P1
P2
U 第二卡氏定理 n Pn 意大利工程师——阿尔伯托· 卡斯提安诺
P3
(Alberto Castigliano， 1847～1884) 二、使用卡氏定理的注意事项：
1、U——整体结构在外载作用下的线
Pn n
弹性应变能 2、Pn 视为变量，结构反力和应变能
等都必须表示为 Pn的函数 3、 n为 Pn 作用点处沿 Pn 方向的位移。
例１1－４－３用卡氏第二定理求刚架Ａ的水平位移
2 EI
C
P 解：１）在Ａ点加水平力Ｐ
A
２）求支反力
qa 2
q
EI
P
a
qa qa V A P 、VB P 2 2 H B P qa
B P qa
a
３）列各段弯矩方程，求变形 qa AC : M ( P ) x 2
qa P 2
M AB ( x ) Px P
x1 x
x 0
M BC ( x ) Px
0
Px 0
③
求变形（ 注意：Px = 0）
U M ( x ) M ( x ) f ( x) dx L Px EI Px
1 EI
P( L x )( x
1 0
x
1
x )dx1
XA
l
qa qy 2 CB : M ( P )a Py 2 2
M M a dx P EI P0 0
qa 2 qa qy2 x dx a ( a )(a y )dy 7qa4 2 2 2 2 EI EI 24EI 0
例11－４－４用卡氏第二定理求三角架Ａ的铅垂位移.AB,AC 为相同材料,相同截面. 解:1)求AB,AC杆内力
FN 2 ( x ) dx 2 EA
2 FNi Li 或 U i 1 2 E i Ai n
1 比能 : u 2
2、扭转杆的变形能计算：
T 2( x) U dx 或 U L 2GI P 1 比能 : u 2
3、弯曲杆的变形能计算：
U M 2 ( x) 2 EI
q
B
A
l 2 l 2
解： 1 ）在A点加y方向集中力，如图
2）求支反力
C
RB
ql P 8 2
RC
3ql P 8 2 M AB 1 x P 2 M AC 1 x1 P 2
3）列弯矩方程、求变形
B
P A
q
C
ql P 8 2
3 P ql 8 2
ql P M AB x 8 2 q 2 3ql P M CA x1 x1 2 2 8
P2
若给P n 以增量 d P n ，则： U1 U
P3
U dPn Pn
2、先给物体加力 dPn ，则：
1 U 2 (dPn ) (d n ) 2 再给物体加P1、 P2、•••、 Pn个力，则：
Pn n
U1 U U 2 n (dPn )
n
U Pn
4、当无与 n对应的 Pn 时，先加一沿 n 方向的 Pn ，求偏导后 ，再令其为零。