第1章 函数、极限与连续
函数的连续性与间断点
【教学目的】：
1. 理解函数在一点连续的概念；
2. 会求简单函数的间断点；
【教学重点】：
1. 函数连续、间断的概念；
2. 函数在一点处连续的判定方法；
3. 函数间断点的分类；
【教学难点】：
1. 函数在一点处连续的判定方法；
2. 分段函数分段点处的连续性判断；
3. 函数间断点的分类。

【教学时数】：2学时
【教学过程】：
1.4.1函数的连续性的概念
1、函数的增量
2、函数的连续性
定义 1 设函数)(x f y =在点0x 及其附近有定义，且0lim 0
=∆→∆y x ，则称函数)(x f 在点0x 连续，0x 称为函数)(x f y =的连续点．
连续的另一等价定义是：
定义2 设函数()x f y =在点0x 及其附近有定义，如果函数()x f 当0x x →时的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值()0x f ，即()()00lim x f x f x x =→，那么就称函数()x f y =在点0x 连续.
注意：由定义知函数)(x f 在0x 处连续要()()00lim x f x f x x =→成立，则必须同时
满足以下三个条件
(1) 函数)(x f 在0x 处有定义；
(2) 极限)(lim 0
x f x x →存在；
(3) 极限值等于函数值，即)()(lim 00
x f x f x x =→．
定义3 如果函数)(x f y =在0x 处及其左邻域内有定义，且)(lim 0
x f x x -→=)(0x f ，则称函数)(x f y =在0x 处左连续．如果函数)(x f y =在0x 处及其右邻域内有定义，且)()(lim 00
x f x f x x =+→，则称函数)(x f y =在0x 处右连续． )(x f y =在0x 处连续 ⇔ )(x f y =在0x 处既左连续且右连续．
例5 讨论函数⎪⎩
⎪⎨⎧+-=101)(x x x f 000>=<x x x 在点0=x 处的连续性.
解 函数定义域为),(+∞-∞，
)(lim 0x f x -→=1)1(lim 0-=--→x x ，1)1(lim )(lim 0
0=+=++→→x x f x x ， 由于左极限与右极限虽然都存在但不相等，所以)(lim 0
x f x →不存在，函数)(x f 在点0=x 处不连续.
定义4 若函数)(x f 在开区间),(b a 内任何一点处都连续，则称函数)(x f 在开区间),(b a 内连续；若函数)(x f 在开区间),(b a 内连续，且在左端点a 处右连续， 在右端点b 处左连续，则称函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续.
可以证明，基本初等函数以及常数函数在其定义区间内都是连续的．
3、函数的间断点
如果函数)(x f y =在点0x 处不连续，则称)(x f 在0x 处间断，并称0x 为)(x f 的间断点．
设0x 是)(x f 的间断点，若)(x f 在0x 点的左、右极限都存在，则称0x 为)(x f 的第一类间断点；其他的间断点都称为第二类间断点．
在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点又称为跳跃间断点；如果左、右极限存在且相等(即极限存在)，但函数在该点没有定义，或者虽然函数在该点有定义，但函数值不等于极限值，这种间断点又称为可去间断点．在第二类间断点中左、右极限至少有一个为无穷大的间断点称为无穷间断点.
【教学小节】：
通过本节的学习，理解函数连续的一系列概念，并掌握判断函数连续的方法，学会判断函数的间断点并分类。

【课后作业】：
无。