巧用圆锥曲线定义解题(教学设计)南浔中学沈爱华一、教材分析：圆锥曲线作为高中数学的一个重要内容，是历年高考的必考点，同时它又是高中数学各骨干知识的交汇点，与函数、平面向量、方程、不等式、三角函数等均有紧密联系。

圆锥曲线的定义是根本，是相应标准方程和几何性质的“源”，不能正确的理解定义，对圆锥曲线方程和几何性质就不能深入。

而且圆锥曲线的定义反映着它特有的几何特征，这些定义在解题中起着不可忽视的作用。

对圆锥曲线的定义的教学我们往往注重它的理解而忽略它的运用，恰当地运用定义解题，有助于使问题得到更清晰、简洁的解决。

同时理解圆锥曲线的定义，是学生掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和几何性质的基础；熟练运用定义解题，可以培养学生运用方程研究曲线几何性质的能力。

二、学生情况分析：作为普通中学的高三学生，对圆锥曲线的定义已有一定的理解，但在运用圆锥曲线定义解题的方法、题型没有掌握好，圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象。

恰当地利用定义解题, 许多时候能以简驭繁。

因此,在高三数学复习课的教学过程中，我认为有必要再一次回到定义,熟悉“巧用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略。

三、设计思想：由于这部分知识较为抽象,难以理解.如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,我首先复习圆锥曲线的定义，使学生进一步理解定义；然后有意识地引导学生运用定义解题来分类研究学习，利用一般解题方法处理习题, 针对学生练习中产生的问题,进行点评,强调“双主作用”的发挥.引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,以使学生提高运用知识解决问题的能力。

四、教学目标：1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、渐近线等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。

2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性,提高学生分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法.3．借助导学案辅助教学,激发学生学习数学的兴趣。

在课堂教学氛围中,努力培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神.五、教学重点：圆锥曲线定义的理解，运用该定义解题的方法与题型的掌握。

六、教学方法：讲授法、讲练结合七、教学过程：（一）、复习圆锥曲线的定义椭圆定义：平面内与两个定点距离的和等于定值的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

双曲线定义：平面内与两个定点距离的差的绝对值是定值的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

抛物线：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

设计意图：通过让学生复习圆锥曲线的定义，熟悉定义，尤其注意定义中三类曲线的相同点和不同之处，为接下来进一步利用定义解题打下基础。

（二）、例题讲解类型一、利用定义求轨迹例1．动点(,)P x y 满足下列方程，请说出其表示的轨迹6；2；1x =+。

设计意图：通过直接给出式子，了解学生对定义的掌握程度。

分析：对于第（1）、（2）小题，大部分学生是利用两点间的距离公式结合定义直接看出其轨迹方程，但是对于第（2）题，要引导学生注意双曲线定义的绝对值，从而考虑到是双曲线的一支，第（3）小题可能大部分学生是利用化简得到的，最后让学生反过来再看通过两点间距离和绝对值的几何意义，结合抛物线的性质，可直接得到。

解析：可看作点(,)x y 与两定点(1,0)、(1,0)-的距离之和为6，又62>，所以点(,)x y 的轨迹是以(1,0)、(1,0)-为焦点、长轴长为6的椭圆。

(,)x y 与两定点(0,2)、(0,2)-的距离之差为2，又24<，所以点(,)x y 的轨迹是以(0,2)、(0,2)-为焦点、实轴长为2的双曲线的下支。

1x =+可看作点(,)x y 与定点(1,0)距离等于到直线1x =-的距离。

所以点(,)x y 的轨迹是以(1,0)为焦点，以1x =-为准线的抛物线。

变式1、已知定点(0,7)A ，(0,7)B -，(12,2)C ，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，则另一焦点F 的轨迹方程是 。

设计意图：本题通过定义求轨迹的一个提升，进一步加强学生对椭圆定义与双曲线定义的理解、掌握。

分析：此题首先要根据椭圆的定义，再转化为双曲线的定义，最后对比双曲线的定义，得到是双曲线的一支。

解析：由题意，2AC AF a +=,2BC BF a +=,AC AF BC BF ∴+=+，又13,15A C B C ==， 2AF BF ∴-=，从而可知点F 是以A B 、为为焦点、实轴长为2的双曲线的下支，即1a =，7c =，248b ∴=，∴另一焦点F 的轨迹方程是221(1)48x y y -=≤-。

类型二、利用定义求最值例 2. 12F F 、分别是椭圆22143x y +=的左、右两焦点，点P 在椭圆上运动，定点M ，求1PM PF +的最大值。

设计意图：本题结合数形结合思想，考查椭圆的定义的活学活用。

分析：此题是利用椭圆定义求最值的典型例题，1F 是左焦点，通过椭圆定义，转化为到右焦点2F 的距离，再利用三角形两边之差小于第三边得到。

解析：122PM PF PM a PF +=+-22a MF ≤+437=+＝，()1max 7PM PF ∴+= ，当且仅当三点2M F P 、、共线时取等号。

变式1、P 为24y x =上一点，记P 到准线的距离为1d ，到2120x y -+=的距离为2d ，求12d d +的最小值；设计意图：本题主要考查了抛物线的简单应用．考查了学生对抛物线定义的理解和应用．分析：此题是利用抛物线定义求最值，区别于椭圆与双曲线，对于P 到准线的距离为1d ，通过定义转化为P 到焦点的距离，过F 向直线引垂线，此时12d d +最小，进而利用点到直线的距离公式，即得最小值。

解析：122F d d d PF d +=+≥， F 为抛物线的焦点，F d 为点F 到直线2120x y ++=的距离，即为所求最小值。

又(1,0)F ，F d ∴==变式2、 定长为8的线段AB 在24y x =上移动，求AB 中点M 到y 轴的最小距离。

设计意图：本题是对求最值问题的一个提升，考查了抛物线的定义和梯形的中位线定理，通过这道题可以深入观察学生对求抛物线定义的掌握程度，加强学生分析问题和解决问题的能力。

分析: 此题首先要考虑AB 中点M 到y 轴的最小距离d ，等于点M 到准线的距离小1，再利用梯形的中位线，点M 到准线的距离1d +等于A B 、到准线的距离和的一半，再利用抛物线的定义转为A B 、到焦点的距离和，最后利用三角形两边之和大于第三边而解决。

类型三、利用定义求值例3、 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，12,F F 为左右焦点，点P 在椭圆上，且12F PF α∠=，求12F PF ∆的面积。

设计意图：本题主要考查利用椭圆的定义求焦点三角形面积，是一道的常规题。

主要是加强学生对椭圆的定义结合余弦定理的应用。

分析：先根据椭圆的定义，结合余弦定理，可求得12PF PF ⋅的值，最后利用三角形面积公式求解．解析：设1P F m =，2PF n =，则由椭圆定义，得2m n a +=①，又由余弦定理得，2222cos 4m n mn c α+-=②，从而由2-①②，得222cos 44mn a c α=-（1+），即221cos b mn α=+ 所以12F PF ∆的面积为22112sin sin sin 221cos 1cos b b S mn ααααα⋅==⋅=++ 变式1、设ABC ∆的重心为G ，且4G B G C +=，若2BC =，则GA 的取值范围是 。

设计意图：本题来源于2015高三文科一模的一道填空题。

此题学生当时根本就没想到与椭圆的关系，但放在这节课中，学生都想到重心G 的轨迹为椭圆。

主要考查了椭圆的定义标准方程及其性质结合三角形的重心，加强学生的推理能力与计算能力。

分析：由条件4GB GC +=，又2BC =要，从而根据椭圆的定义，可知点G 的轨迹方程，又G 为三角形的重心，所以求GA 的取值范围，又可转化为求GO 的取值范围的2倍即可。

解析：因为2BC =，所以以BC 所在直线为x 轴，BC 中点为原点，建立直角坐标系，则可知()1,0B - ，()1,0C ，又4GB GC +=，则点G 在椭圆方程22143x y +=上，又G 为ABC ∆的重心，则GA =2GO ，而)2GO ∈， 可知)GA ⎡∈⎣变式2、从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点1F 引圆222x y a +=的切线l ，切点为T ，且l 交双曲线的右支交于点P ，M 是线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则OM TM -的值为 。

设计意图：此题学生在做练习时，普遍认为较难，错误率较高，因而放在这里，让学生再次感受一下双曲线定义的魅力。

本题考查了圆的切线的性质、三角形的中位线定理、双曲线的定义、勾股定理，进一步加强学生的推理能力。

分析：要求OM TM-，先引导学生分析图象， 利用三角形的中位线定理可得，212OM PF =，再TM FM FT =-，利用勾股定理算出FT ，而112FM PF =，最后由双曲线的定义即可算出。

解析：利用三角形的中位线定理可得，212OM PF =，再利用圆的切线的性质可得，FT b ==，而112T M F M F T P F b =-=-211122OM TM PF PF b ∴-=-+，结合双曲线的定义，可知O M T M -12=-2a ⋅b +b a =- （三）、小结主要以提问、补充的形式对本节课知识做一个简单的回顾和总结，让学生对整节课的内容有一个整体的理解和把握。

八、教学反思本节课是安排在高三的一节专题复习课，从开始复习到现在，已经两个多月了。

通过复习，同学们能够根据问题的特点，适当选用合适的公式、定理、法则进行解题。

但是，通过练习和检测，我发现有的同学对数学定义往往没有给予足够的重视，以至出现在解答数学问题时，不能及时地发现一些促进问题迅速获解的隐含条件，经常出现舍近求远、舍简求繁的情况。

以往的教学经历告诉我，引导学生合理应用定义是寻求解题捷径的一种重要方法。

在求解有关圆锥曲线的有关问题时，灵活运用圆锥曲线的定义常常会给解决这类问题题带来极大方便。

用圆锥曲线的定义求解有关圆锥曲线的问题是解析几何中一个比较重要的内容。