利用圆锥曲线的统一定义解题
圆锥曲线的统一定义揭示了圆锥曲线的内在联系，使焦点、离心率、准线等构成了一个和谐的整体。
恰当而灵活运用统一定义来解题，往往能化难为易，化繁为简，起到事半功倍的效果．下面谈一谈圆锥曲线的统一定义的解题功能。
一、“统一定义”活解曲线方程
例1、已知圆锥曲线过点(4,8)P --，它的一个焦点(4,0)F -，对应这个焦点的准线方程为4x =，求这条曲线的轨迹方程．
解：设(,)M x y 为该圆锥曲线上任一点，由统一定义得：4
44
MF PF
x =---，即
=
216y x =-，故所求曲线的方程为2
16y x =-
点评：利用圆锥曲线的统一定义来解，体现问题的本质，避免不必要的讨论，解题过程简捷．求圆锥曲线的轨迹方程时，涉及到焦点、准线、离心率和曲线上点4个条件中的3个，往往用圆锥曲线的统一定义解．
练习1：在平面内到定点（0，4）的距离比它到定直线5y =-的距离小1的动点的轨迹方程。
解：由题设可知：平面内动点到定点（0，4）的距离等于到定直线4y =-距离，由“统一定义”可知，动点的轨迹是以（0，4）为焦点，4y =-为准线的一条抛物线，其方程为216x y =。
二、“统一定义”妙解圆锥曲线的最值
例2、已知点(2,1)A 在椭圆内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P ，使||2||PA PF +最小．
分析：如果直译，很难使问题得到解决．根据所提供数据的特点，已知椭圆的离心率为
1
2
，而表达式||2||PA PF +中有系数２，可以考虑构造表达式||2||PA PF +的几何意义，紧扣椭圆的定义解答．
解：设椭圆上点P 到准线的距离为d ，则
1
2
PF e d ==，即2||d PF =，则问题转化为，在椭圆上求一点，使它到焦点F 与对应准线的距离之和最小，如图６，根据平面几何中的“垂线段最短”的性质，作2AM 垂直于准线，其与椭圆的交点即为所求点P ，故设
(,1)P x ，代入椭圆方程得x =P 为所求．
点评：根据椭圆的第二定义，通过离心率把到焦点的距离与到对应准线的距离之间进行
转化，结合图形的性质，探求解题方法，优化解题过程。
练习2：已知点A （3，0）、F （2，0），在双曲线22
13y x -=上求一点P ，使1
||||2
PA PF +
的值最小。
解：1,2,2a b c e ==∴=∴=。
设点P 到与焦点F （2，0）相应的准线的距离为d ，则
||2PF d =。
∴1
||2
PF d =。
1||||||2PA PF PA d ∴+=+，这问题就转化为在双曲线上求点P ，
使P 到定点A 的距离与到准线的距离和最小。
即直线PA 垂直于准线时合题意，∴P （1，0）。
三、“统一定义”妙求离心率
例3、已知椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>，过左焦点F 作倾斜角为060的直线交椭圆于,A B
两点，若2AF FB =，则椭圆的离心率e 为
解：如图，设2BF =，点B 到左准线的距离为d ，则4AF =， 点A 到左准线的距离3d +，由圆锥曲线的统一定义得
422
33
e d d =
==+ 点评：解法的关键是抓住了题设条件的特点，取2BF =并利
用了060的直角三角形的特性，根据椭圆的第二定义得到了比例式，从而利用等比定理简化了求解程序．
练习3：设点P 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 右支上的任意一点，21,F F 分别是其
左、右焦点，离心率为e ，若21PF e PF ⋅=，求此双曲线的离心率e 的取值范围。
解：由双曲线的第一定义可知：a PF PF 221=-，又21PF e PF ⋅=，故1
22-=
e a PF ，121-=
e ae
PF ，在21PF F ∆中，2121F F PF PF ≥+（当且仅当点21,,F P F 共线时取等号），即c e e a 21
)
1(2≥-+，所以0122≤--e e ，即211+≤<e ，故所求双曲线的离心率e 的取值范围是]21,1(+。
四、“统一定义”妙定位置关系
例4、设椭圆的左焦点为F ，AB 为椭圆中过点F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与左准线的位置关系．
解：设M 为弦AB 的中点（即以AB 为直径的圆的圆心），
111A B M ，，分别是A 、B 、M 在准线l 上的射影（如图）．由圆锥曲
线的共同性质得111()2AB AF BF e AA BB e MM =+=+=． ∵01e <<，∴12AB MM <，即
12
AB
MM <．∴以AB 为直径的圆与左准线相离． 练习4：在抛物线2
2y px =中（如图）A 为抛物线上异于顶点的任一点，问以|PA|为直径的圆与y 轴的位置关系如何。
解：如图，设过A 点且平行于x 轴的直线交y 轴于B 点，交直线L 于C 点，由统一定义可知|AC|=|AF|，设x 轴与准线L 交于D ，则|OF|=|OD|=|BC|，取AF 的中点M ，过点M 且平行于x 轴的直线交于y 轴于N ，则1111||(||||)(||||)||||2
2
2
2
MN AB OF AB BC AC AF =+=+==。
所
Y X
C B A N
M
F
O D
以|FA|为直径的圆与y 轴相切。
五、“统一定义”妙解探索性问题
例5、已知双曲线22
125144
x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ,左准线为l .能否在双曲线的
左支上求一点P ,使1||PF 是P 到l 的距离d 与2||PF 的等比中项?若能,求出P 的坐标.若不能,说明理由.
解：我们可假设存在满足条件的点P ,则212||||PF d PF =,即121||||||
PF PF e d
PF ==.又
5,12a b ==,所以1313,5c e ==
,则2113
||||5
PF PF =.而21||||210PF PF a -==,所以122565||,||44PF PF ==,121245
||||||2
PF PF F F +=<,这与1212|||||PF PF F F +≥矛盾.故不存在
满足条件的点P .
点评：圆锥曲线的定义上其性质属性的深刻反映，运用其定义法求解是最直接、最基本，也是很简洁的方法。
这里将2
12||||PF d PF =化为比式,借助统一定义确定12||,||PF PF 的关
系,再联系第一定义,得到矛盾不等式.两个定义联手,可谓天衣无缝.
练习5：已知双曲线122
22=-b
y a x 的离心率21+>e ，左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线
为l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得1
PF 是P 到l 的距离d 与2PF 的等比中项？ 解：设在左半支上存在P 点，使d PF PF ⋅=22
1，由双曲线的第二定义，知 e PF PF d PF ==1
21，即12PF e PF =．①再由双曲线的第一定义，得a
PF PF 212=-．② 由①、②，解得121-=e a PF ，1
22-=e ae
PF ． 在21F PF ∆中，有c
PF PF 221≥+，∴c e ae e a 21
212≥-+-．③ 利用a
c e =
，从③式得0122
≤--e e ．解得2121+≤≤-e ． 由1>e ，得211+
≤<e ，与已知21+>e 矛盾．∴符合条件的点P 不存在．
总之，我们在解决圆锥曲线的问题时，从定义的角度考虑出发是一种很好的解题思路。
定义是分析、解决问题的重要依据，巧妙简捷的解题常常来源于定义的恰当合理应用，只有熟练掌握每一个定义的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地用定义解题。