2 测定分形维数的方法
对于一些具有严格相似性的分形 , 其维数可以 由相似维数的定义方便地求出 .对于复杂的分形 , 计 算其维数的实用方法一般有 :通过改变标尺求分维 的标尺法 , 利用统计学中方差原理的半方差法和根 据功率谱密度求分维的 PSD 法 .另外 , 根据测度关 系 、相关函数 、分布函数也可求分维[ 2, 7] . 2.1 标尺法
认为在 d 和Lp 之间存在分形关系 , β 可能为分形维
数值 , 其中 γ, L0 是常数 .从 McMahon 和 Kronauer 的 方程 d =γ(Lp +L0 )β 的试验性非线性适应性分析
提出一般有经典维数 、Hausdorff 维数及相似维数 .经
典维数指为确定物体和几何图形中任意一点位置所
需要的独立坐标数 , 也就是该物体和几何图形的维
数 , 它必须是整数 .Hausdorff 提出 :假设考虑的物体
或图形是欧氏空间的有界集合 , 用半径为 r(r >0)
的球覆盖其集合时 , 假定 N(r)是球的个数的最小
根系 的拓 扑 特 性在 文 献 中 得 到了 相 当 的 关 注[ 17 ～ 19] .从根部构造所需的碳的角度来考虑 , 根系
的拓扑 特 性被 认 为会 影 响资 源开 采 的 效率 和 费 用[ 18 ,19] .McMahon 和 Kronauer[ 20] 认为 , 在分枝系统的 某些点 , 某一部分的直径 d 与从该部分直到分枝末 梢的所有根系长度的平均值 Lp 有关 .从弹性相似理 论 , 他们推论出这样一个关系式 :d =γ(Lp +L 0 )β ,
值 , 则有
D
=-lim r ※0
lnNln(rr), 式中
D
即是
Hausdorff
维
数 .关于相似维数的概念 , 设该物体或几何图形可分
为 N 个局部 , 每个局部按相似比 β 与整体相似 , 则
其相似维数 D =ln(ln1Nβ)=-llnnNβ , 上式中的 D 不
必为整数 .
1.2 Mandelbrot 给出的模型
责任作者:朱金兆 , 男 , 1944 年生 , 教授 , 博士生导师 .主要研究方向 :林业生态工程 .联系方式同上 .
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北 京 林 业 大 学 学 报
第 24 卷
1.1 描述分形维数的一般形式
由于自然界中分形的多样性 , 描述它们特征的 分维也有多种形式 , 鲁植雄等[ 7] 对这方面做了综述 ,
分形理论以研究几何图形自相似规律为基本内 容 , 它一经提出 , 就受到植物生态学工作者的高度重 视 , 并开始了植物群落格局的分形研究[ 8] .Burrough (1981)首先提出 , 并将该理论应用于土壤和景观数
据解释中 .Palmer(1988)将其引用于植被空间异质性 研究并 取得 满意的 结果 .自 90 年代以 来 , 马克 明 (1993)、叶万辉(1993)、祖元刚(1995 , 1997)等人将这 一理论应用于植物生态学领域并在研究东北羊草草 原群落格局方面取得了良好效果 .马克 明等[ 9 ,10] 研 究了兴安落叶松分枝格局的分形特征 , 给出计算分
摘要 分 形理论作为描述自然界和非线性系统中不光滑和不规则几何形体的 有效工具 , 如何将 其应用到林 学与水土 保持等学科中去 , 是目前学术界正在研究的热点问 题 .为此 , 该文在 对分形 理论进 行概述 的基础 上 , 列 举了描 述分形 维数的一般形式及计算分形维数的主要方法 , 包括标 尺法 、半方差法 、PSD 法 , 以及 根据测度关系 、相关函数 、分布函数 等方法求分维 .对每一种方法的含义 、基本模型及在相关领域的应用进行了阐 述 , 并对 分形理论 的应用前景 做了简单 的评述 . 关键词 分形维数 , 计算方法 , 数学模型 中图分类号 S711
As an effective way to describe the non-smooth and non-regular geometry objects in the nature and non-linear systems , fractal theory has been applied to many fields .On the basis of summarizing the fractal theory , this paper listed the common forms of describing fractal dimension as well as the methods of calculating it , including staff guage method , semivariance method , particle size distribution(PSD)method and the methods of counting it by measuring relation , correlated function and distribution function .This paper also expatiated the meanings , basic models and the application in each field of each method .At last , the prospect of fractal theory is briefly appraised . Key words fractal dimension , calculating methods , mathmatical models
辛晓平等[ 13] 研究了 9 a 草地恢复演替系列中斑 块边界形状和斑块面积分布动态 , 并进行了尺度转 换分析 .Mark E .等[ 14] 研究了空间缩放比例关系与生 物多样性之间的关系 , 并用该理论预测了生物多样 性和生境破碎化程度之间的关系 , 给出了用栖息地 分形维数来计算物种多样性的模型 .做相关研究的 还有梁士楚[ 15] 与倪红伟等[ 16] . 2 .1 .2 根系与土壤方面
第 24 卷 第 2 期 2002 年 3 月
北 京 林 业 大 学 学 报 JOURNAL OF BEIJING FORESTRY UNIVERSITY
Vol.24 , No .2 Mar., 2002
分形维数计算方法研究进展 ＊
李 朱金兆 朱清科
(北京林业大学资源与环境学院)
本方法是用圆和球 、线段和正方形 、立方体等具 有特征长度的基本图形去近似分形图形 .一般地说 , 如果某曲线具有 N(r)∝r-D关系 , 即可称 D 为这一 曲线的维数 .对海岸线和随机行走轨迹的分形维数 的测定 , 多数是采用这个方法的 .可以把此方法扩展 到二维和三维 , 即把平面或空间分割成边长为 r 的 细胞 , 然后来数所要考虑的形状(或构造)中所含的 细胞数 N (r)[ 2 , 4 , 7] .许多研究者将标尺法用于分形 维数的计算 . 2.1.1 植物群落方面
枝格局的分形维数模型 :D =-lεi※m0 logloNg(εε), 其中 D 为分形维数 , N(ε)是边长为 ε时的非空格子数 , ε 为对应的格子边长 , 计算得出兴安落叶松分枝格局 的分形维数介于 1 .4 ～ 1 .7 之间 .马克明等[ 11] 还对该 地区的景观格局及破碎化程度进行了研究 , 发现各 森林类型的边界密度和斑块密度较高 , 显示出较高 程度的 破碎 化 .马克 明对 羊草(Aneurolepidium chinese)水平分布格局的研究表明应用分形理论研究植 物种群水平格局 , 其计盒维数除了能精确直观地刻 划分布样式之外 , 更重要的是它能定量地反映出种 群占据生态 空间 的能 力 , 验证 了前 人(Mandelbrot , 1991 ;Frontier , 1987 ;Palmer M .W ., 1988 ;Falconer K . J ., 1991 ;Miline B .T ., 1991)的工作 .另外 , 祖 元刚 等[ 12] 给出了辽1-10-03 收稿 http :www periodical bjlydxxb ＊ 国家自然科学基金项目“ 黄土坡面果粮复合系统根系结构及生态位特征研究”(39970609)资助 . 第一作者 :李 , 女 , 1973 年生 , 博士生 .主要研究方向 :林业生态工程 .电话 :010 -62390661 Emai l :lleejie @ 地址 :100083 北京市海 淀区清华东路 35 号北京林业大学资源与环境学院 .
分形理论是由 Benoit B .Mandelbrot 在 1975 年正 式提出与建立的一种探索复杂性的新的科学方法和 理论 , 它从自然几何学入手 , 进而在近十几年来已推 广到物理 、化学 、地学 、材料工程 、计算机科学 、生物 、 医学等领域 , 在经济学 、艺术学 、社会科学等其他方 面也展现了令人注目的应用前景[ 1 , 2] .对于分形的定 义 , Mandelbrot 在 1986 年是这样描述的[ 3 , 4] :分形就 是指由各个部分组成的形态 , 每个部分以某种方式 与整体相似 , 它具有自相似性和标度不变性 .所谓自 相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺 度或时间尺度来看都是相似的 , 这一特征被称作分 形体的本质特征 .标度不变性是指在分形上任选一 局域 , 对它进行放大 , 这时得到的放大图又会显示出 原图的形态特征 .分形可分为有规分形和无规分形
两种[ 5, 6] , 有规分形计算以经典的 Koch 曲线为例 , 而 无规分形是指无规律但具有相似性的图形 , 无规分 形又称统计分形 .
1 计算分形维数的基本模型
分形维数(fractal dimension)是分形理论中最核 心的概念与内容 , 它是由 Mandelbrot 为表面曲 线的 复杂性和处处不可微性而提出的 , 是刻划分形体复 杂结构的主要工具 , 引入分形维数正是分形理论的 新颖之处 .应用分形理论研究自然现象最重要的问 题是如何解释分形维数的意义 , 分形维数的意义应 包括分形维数本身的几何意义及研究对象参量及其 尺度变化的意义两方面 , 两者结合才是特定分形维 数的含义[ 2, 3] .