第2期
李 等 :分形维数计算方法研究进展
73
认为 ,总的末梢根长 L 与部分直径之间表现出较好
的相关性 ,特别是当只有小的直径被考虑的时候.
1991 ; Frontier ,1987 ; Palmer M. W. ,1988 ; Falconer K. J . ,1991 ; Miline B. T. ,1991) 的工作. 另外 ,祖元刚 等[12] 给出了辽东栎种群的空间分布分形维数计算
模型 : Db
=
-
lim
m →0
log log
2001210203 收稿 http :ΠΠwww. chinainfo. gov. cnΠperiodicalΠbjlydxxbΠ 3 国家自然科学基金项目“黄土坡面果粮复合系统根系结构及生态位特征研究”(39970609) 资助. 第一作者 :李 ,女 ,1973 年生 ,博士生. 主要研究方向 :林业生态工程. 电话 :010 - 62390661 Email :lleejie @263. net 地址 :100083 北京市海 淀区清华东路 35 号北京林业大学资源与环境学院.
的欧氏长度 , L0 为分形曲线的初始操作长度 ,ε为
分形曲线的标度 , D 为其分维. Mandelbrot 也首次提
出了 周 长 - 面 积 关 系 的 分 形 估 算 模 型 P1ΠD =
a0 A1Π2 , P 为分形曲线的 Hausdorff 长度 , A 为平面图
形的欧氏面积 , a0 为形状因子 , D 为分维[2 ,3 ,7] .
根系 的 拓 扑 特 性 在 文 献 中 得 到 了 相 当 的 关
注[17～19] . 从根部构造所需的碳的角度来考虑 ,根系
的拓 扑 特 性 被 认 为 会 影 响 资 源 开 采 的 效 率 和 费
用[18 ,19] . McMahon 和 Kronauer[20] 认为 ,在分枝系统的
某些点 ,某一部分的直径 d 与从该部分直到分枝末
两种[5 ,6] ,有规分形计算以经典的 Koch 曲线为例 ,而 无规分形是指无规律但具有相似性的图形 ,无规分 形又称统计分形.
1 计算分形维数的基本模型
分形维数 (fractal dimension) 是分形理论中最核 心的概念与内容 ,它是由 Mandelbrot 为表面曲线的 复杂性和处处不可微性而提出的 ,是刻划分形体复 杂结构的主要工具 ,引入分形维数正是分形理论的 新颖之处. 应用分形理论研究自然现象最重要的问 题是如何解释分形维数的意义 ,分形维数的意义应 包括分形维数本身的几何意义及研究对象参量及其 尺度变化的意义两方面 ,两者结合才是特定分形维 数的含义[2 ,3] .
地区的景观格局及破碎化程度进行了研究 ,发现各 森林类型的边界密度和斑块密度较高 ,显示出较高 程度 的 破 碎 化. 马 克 明 对 羊 草 ( Aneurolepidium chi2 nese) 水平分布格局的研究表明应用分形理论研究植 物种群水平格局 ,其计盒维数除了能精确直观地刻 划分布样式之外 ,更重要的是它能定量地反映出种 群占据生态空间的能力 , 验证了前人 (Mandelbrot ,
As an effective way to describe the non2smooth and non2regular geometry objects in the nature and non2lin2 ear systems ,fractal theory has been applied to many fields. On the basis of summarizing the fractal theory ,this paper listed the common forms of describing fractal dimension as well as the methods of calculating it ,including staff guage method ,semivariance method ,particle size distribution ( PSD) method and the methods of counting it by measuring relation , correlated function and distributied the meanings ,ba2 sic models and the application in each field of each method. At last , the prospect of fractal theory is briefly ap2 praised. Key words fractal dimension , calculating methods , mathmatical models
2 测定分形维数的方法
对于一些具有严格相似性的分形 ,其维数可以 由相似维数的定义方便地求出. 对于复杂的分形 ,计 算其维数的实用方法一般有 :通过改变标尺求分维 的标尺法 ,利用统计学中方差原理的半方差法和根 据功率谱密度求分维的 PSD 法. 另外 ,根据测度关 系 、相关函数 、分布函数也可求分维[2 ,7] . 211 标尺法
维
数. 关于相似维数的概念 ,设该物体或几何图形可分
为 N 个局部 ,每个局部按相似比β与整体相似 ,则
其相似维数
D
=
ln N ln (1Πβ)
=-
ln N lnβ
,上式中的
D
不
必为整数.
112 Mandelbrot 给出的模型
在分形几何中 ,Mandelbrot 给出了分形曲线长度
的分维估算模型 : L = L0ε1 - D ,其中 : L 为分形曲线
需要的独立坐标数 ,也就是该物体和几何图形的维 数 ,它必须是整数. Hausdorff 提出 :假设考虑的物体 或图形是欧氏空间的有界集合 ,用半径为 r ( r > 0) 的球覆盖其集合时 ,假定 N ( r) 是球的个数的最小
值 ,则有
D=
-
lim
r →0
l
n
N ln
( r
r)
,式中
D
即是 Hausdorff
N m
,其中
Db
为分形维数 , m 为标
度 , N 为单个树体的冠幅占有空间的格子数. 张文
辉等[8] 对裂叶沙参与泡沙参种群分布格局的分形特
征进行了研究 ,发现分形理论是研究濒危植物种群
水平空间分布格局的一种有效办法 ,弥补了传统的
研究植物种群分布格局方法中的某些不足.
辛晓平等[13] 研究了 9 a 草地恢复演替系列中斑
本方法是用圆和球 、线段和正方形 、立方体等具 有特征长度的基本图形去近似分形图形. 一般地说 , 如果某曲线具有 N ( r) ∝ r - D 关系 ,即可称 D 为这一 曲线的维数. 对海岸线和随机行走轨迹的分形维数 的测定 ,多数是采用这个方法的. 可以把此方法扩展 到二维和三维 ,即把平面或空间分割成边长为 r 的 细胞 ,然后来数所要考虑的形状 (或构造) 中所含的 细胞数 N ( r) [2 ,4 ,7] . 许多研究者将标尺法用于分形 维数的计算. 21111 植物群落方面
梢的所有根系长度的平均值 Lp 有关. 从弹性相似理 论 ,他们推论出这样一个关系式 : d = γ( L p + L0 )β , 认为在 d 和 Lp 之间存在分形关系 ,β可能为分形维 数值 ,其中 γ, L0 是常数. 从 McMahon 和 Kronauer 的 方程 d =γ( L p + L0 )β 的试验性非线性适应性分析
分形理论是由 Benoit B. Mandelbrot 在 1975 年正 式提出与建立的一种探索复杂性的新的科学方法和 理论 ,它从自然几何学入手 ,进而在近十几年来已推 广到物理 、化学 、地学 、材料工程 、计算机科学 、生物 、 医学等领域 ,在经济学 、艺术学 、社会科学等其他方 面也展现了令人注目的应用前景[1 ,2] . 对于分形的定 义 , Mandelbrot 在 1986 年是这样描述的[3 ,4] :分形就 是指由各个部分组成的形态 ,每个部分以某种方式 与整体相似 ,它具有自相似性和标度不变性. 所谓自 相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺 度或时间尺度来看都是相似的 ,这一特征被称作分 形体的本质特征. 标度不变性是指在分形上任选一 局域 ,对它进行放大 ,这时得到的放大图又会显示出 原图的形态特征. 分形可分为有规分形和无规分形
责任作者 :朱金兆 ,男 ,1944 年生 ,教授 ,博士生导师. 主要研究方向 :林业生态工程. 联系方式同上.
72
北 京 林 业 大 学 学 报
第 24 卷
111 描述分形维数的一般形式 由于自然界中分形的多样性 ,描述它们特征的
分维也有多种形式 ,鲁植雄等[7] 对这方面做了综述 , 提出一般有经典维数 、Hausdorff 维数及相似维数. 经 典维数指为确定物体和几何图形中任意一点位置所
原群落格局方面取得了良好效果. 马克明等[9 ,10] 研
究了兴安落叶松分枝格局的分形特征 ,给出计算分
枝格局的分形维数模型 : D =
-
lim
ε→0
log N (ε) logε
,其中
D
为分形维数 , N (ε) 是边长为 ε时的非空格子数 ,ε
为对应的格子边长 ,计算得出兴安落叶松分枝格局
的分形维数介于 1. 4～1. 7 之间. 马克明等[11] 还对该
摘要 分形理论作为描述自然界和非线性系统中不光滑和不规则几何形体的有效工具 ,如何将其应用到林学与水土 保持等学科中去 ,是目前学术界正在研究的热点问题. 为此 ,该文在对分形理论进行概述的基础上 ,列举了描述分形 维数的一般形式及计算分形维数的主要方法 ,包括标尺法 、半方差法 、PSD 法 ,以及根据测度关系 、相关函数 、分布函数 等方法求分维. 对每一种方法的含义 、基本模型及在相关领域的应用进行了阐述 ,并对分形理论的应用前景做了简单 的评述. 关键词 分形维数 , 计算方法 , 数学模型 中图分类号 S711