分形维数算法
分形包括规则分形和无规则分形两种。规则分形是指可以由简单的迭代或者
是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。这
些分形图形具有严格的自相似性。无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形，
如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。这类曲线的自相似性是近似
的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。
对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋
于无限小）。不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部
分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。因些对于
这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得
到。分形维数
D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20）
如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=；Koch曲线分数维D=ln4/ln3=; Sierpinski
海绵分数维D=ln20/ln3=。
对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。不规则分形种类繁多，
它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的点
集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法[26]。
（1）尺码法
用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲
线上。不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。如果作lnN～
lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系
N～λ-D （2-21）
上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的
Richardson公式。Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西
部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里
到4公里之间。海岸线绝对长度L被表示为：
L=Nλ～λ1-D （2-22）
"
他得到挪威东南部海岸线的分维D≈，而不列颠西部海岸线的分维D≈。这
说明挪威的海岸线更曲折一些[27]。
（2）小岛法
如果粗糙曲线都是封闭的，例如海洋中的许多小岛，就可以利用周长-面积
关系求分维，因此这个方法又被称为小岛法。
对于规则图形的周长与测量单位尺寸λ的一次方成正比，而面积A则与λ的
二次方成正比。通常我们可以把它们写成一个简单的比例关系：
P∝A1/2 (2-23)
对于二维空间内的不规则分形的周长和面积的关系显然更复杂一些，
Mandelbrot提出，应该用分形周长曲线来代替原来的光滑周长，从而给出了下
述关系式：
1/1/2D1/200[()](1)/[()][()]DPaDDAaA

（2-24）

这里的分维D大于1（周长光滑时D=1，上式转化成为（）式），使P的变化
减缓，a0是和岛的形状有关的常数，是测量尺寸，一般取为小于1的数值（如
取岛的最大直径为1），使因子（1-D）/D随测量尺寸减小而增大。作log[P()/
]～log[A()1/2/
]图，从其中直线部分的斜率的倒数，可以得到分维D。

这个方法也可以推广到粗糙曲线（表面积-体积法）。
（3）计盒维数法[28]
这是一种常用的计算分形图形分维数的实用方法。取边长为r的小盒子，把
分形曲线覆盖起来。则有些小盒子是空的，有些小盒子覆盖了曲线的一部分。计
数多少小盒子不是空的，所得的非空盒子数记为N（r）。然后缩小盒子的尺寸，
所得N（r）自然要增大，当r→0时，得到分形维数：
）

0log()limlogrNrDr

（2-25）

实际计算中只能取有限的r，通常的做法与尺码法类似，求一系列r和N（r），
然后在双对数坐标中用最小二乘法拟合直线，所得直线的斜率即所求分形维数。
（４）结构函数法[29]
具有分形特征的时间序列能使其采样数据的结构函数满足：
242()[()()]DSzxzxC

（2-26）
式中：
2
[()()]zxzx
表示差方的算术平均值。


是数据间隔的任意选择值。

针对若干尺度对分形曲线的离散信号计算出相应的Ｓ（），然后在对数坐
标中得logS()～log直线的斜率Ｗ，则分形维数：
42WD

（2-27）

系统所采用的二种计算维数的方法
、
以上介绍的各种测量不规则分形的分维方法，在原理上都是利用了它们的自
相似性和被测量是随测量尺度的改变而改变的特性。因此选择哪一种方法来测定
和计算分维只能从实际问题出发，没有统一的标准。但在计算分维时存在的共同
点是在计算原则上要求图形象素尽量多以及相似的层次尽量多。但实际图形往往
达不到这样的要求，计算机模拟结果原则上可以有大得多的线性范围，但限于计
算时，一般双对数图上的线性范围是2～3个量级。因此我们在实际的研究工作
中，对研究对象使用分形或分维等概念时一定要注意它的适用范围。
下面介绍在系统中所使用的二种求分形的方法。
a、半方差法
半方差法用于复杂的分形曲线的计算，适用于对随机过程数据的处理。该方
法简单易行，适合于计算机处理，是一种较实用的计算方法。
设在某一测量距离或测量时间序列上得到一族z（t），且随机变量的平均差
表示为：
1
()[()()]maztzttn

（2-28）

其中：
m(a)为平均差；
z(t)为在t位置函数曲线的测量值；
z(t+Δt)为在t+Δt位置函数曲线的测量值；
Δt为一对数据的间据
：
n为数据对数。
方差表示为：

2
1
()[()()]saztzttn

（2-29）

半方差表示为：
2
11
()()[()()]22rasaztzttn

（2-30）

式中数据的对数n的确定方法是：若以等间距Δt连续测量某一距离的各点
数值时，得到一随机数据z(1),z(2),…,z(k),如图2-6所示
当一对数据的间距t1=Δt时，数据的对数n=k-1,如图2-6 (a)所示。
当一对数据的间距t2=2Δt时，计算相应的半方差时，数据的对数n2=k-2,
如图2-6 (b)所示。
当一对数据的间距t3=3Δt时，计算相应的半方差时，数据的对数n2=k-3,
如图2-6 (c)所示。

图2-6 半方差法中参数n的确定
"
Fig 2-6 the definition of n in semi-variance method
当试验数据较多时，往下依次类推。
每当改变一对数据的间距时，由式（2-30）可以得到相应的半方差r(a)。对
于分形曲线，a与r(a)存在如下的幂型关系：

t1=Δt
、
n1=k-1 z(1) z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9)

z(k)
(a)

t2=2Δt
n2=k-2 z(1) z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9) z(k)

(b)
t3=3Δt
n3=k-3 z(1) z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9)
r(a)∝hW (2-31)
其中，W是幂指数，是分形维数D的一种逼近，把h和r(h)绘到双对数坐标
图上，并进行线性回归，得到回归方程，其斜率即为W。而斜率W与分形维数D
有如下关系[23]：
W=4-2D （2-32）
则
42WD

（2-33）

b、变换法
这是Dubuc等[29]介绍的方法，在本质上它与计盒维数法相似，但对已知分形
曲线运用此法得到的结果比计盒维数法准确，。后来Spanos和Irene[25]把此方法
推广应用于粗糙曲面，也得到很好的结果。
此法设置宽为Ｒ的矩形（盒子）覆盖到分形曲线上，矩形的高度由分形曲线
在框内的最高点和最低点决定（图2-7），一步一步移动矩形遍及所有象素点，
将所有矩形的高和宽相乘并且相加起来得到总面积S（R），系列改变Ｒ的大小重
复以上操作，得到一系列S（R）。注意上述操作过程中矩形经过的范围应远远大
于矩形的宽度。将
|

图2-7 变换法求分维
Fig 2-7 dimension calculating using variation
S（R）除以R２得到N（R）＝S（R）／R２，作lnN(R)～ln(1/R)曲线，取其中线
性部分的斜率为分维Ｄ，因为在线性范围内存在N（R）～R－Ｄ的关系。或者直接
作lnS(R)～lnR曲线，其中线性部分斜率为W，并且由此斜率得到分维D。

R2
R1
D＝２－W （2-34）
变换法也可以推广到粗糙曲面的分维计算。此时测量用的矩形被正方柱代替。
变换法和计盒维数法在本质上是相同的，它们都是用不断改变尺寸的盒子去覆盖
图形。其较为准确的原因在于它允许二维或三维的盒子数N（R）为非整数，同
时N（R）也是遍及所有象素点得到的数值。