2'1
d'1
d2 a2b2 ⅠⅡ∥H2 ⅠⅡ CD
1'1
12 22 c2 d2
1.将一般位置平面变换为投影面的垂直面
b
a
d
b1
c
V
D
X
d1H1 H
a1
a
b d
c1
c
d
c
一次换面即可
[例题5] 求点S到平面ABC的距离
k1
s1
距离
[例题6]已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
e
d e
4.2.2 点的换面
1.点的一次换面
V/H V1/H
V1 a1
X1
V
a
V1 a1
A
X
a
a H
a1
X
V H
a
变换V面时点的投影作图
点的投影变换规律
（1）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。 （2）点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。
点在V/H1体系中的投影 V/H 体系变为V/H1 体系
➢第四章 投影变换
基本要求 §4-1 概 述 §4-2 换面法
基本要求
（1）掌握换面法的基本原理和换面法作图 的投影变换规律。 （2）掌握用换面法求线段实长、平面图形 实形及其对投影面的倾角基本作图方法。 （3）掌握用换面法解决一般空间几何元素 间的定位和度量问题。
4.1 基本概念
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（ 平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、 平面的实形及其与投影面的倾角，当它们处于垂 直位置时，其中有一投影具有积聚性。
e1
c2
e d
有两解
ed
[例题8] 已知K 点到直线AB的距离为20，求点K 的正面投影。 b’
a’ k’
X
k
a
X1
k1’
a1’
O
b
O1 20mm O2
k2 b1’ a2b2
X2
a1
a1
V/H1 体系称为新投影体系；V/H 体系为旧投影体系。 X1称为新投影轴；X称为旧投影轴。 H1称为新投影面； H称为旧投影面；V称为不变投影面。
2.点的两次换面
第一次变换时的旧、 不变、新投影
旧轴 新轴
a2 a2
旧投影 不变投影 新投影
V/H V1/H V1/H2
值得提醒的是:
在多次变换中，必须遵照交替换面的原则。 如:
d
N
有两解
5. 将投影面垂直面变换为投影面的平行面
V
c
c1
V1
a1 b1
A
C a b
X B b
X1
a
H
一次换面即可
c1 b1
a1
6.将一般位置平面变换为投影面的平行面
a2
b2
实形
d2 c2
d
d
需要二次换面
[例题7] 已知E 点在 平面ABC上，距离A、B 为15，求点E 的投影。
15 b2
a2 e2
k
[例题3] 求两平行直线AB与CD间的距离
b
b
a
提示
a
d
c
XV
H
XV H
d
b
b
a
c
a2 b2
a
作图
b
a
d
c
XV H
d
b c a
c1
距离
d1
c2 d2 a2 b2
[例题4] 求交叉两直线AB与CD的公垂线
b 1
DA
Ⅱ
2
C
Ⅰ
c2 22
d2
B
12 H2
1 2
c2
AB H2
22
12 ⅠⅡ AB
c'1
4.2.1 基本概念 4.2.2 点的换面 4.2.3 基本作图 4.2.4 换面法应用举例
4.2.1 基本概念
换面法—空间几何元素的位置保持不 动，用新的投影面来代替旧的投影面，使 对新投影面的相对位置变成有利解题的位 置，然后找出其在新投影面上的投影。
1. 新投影体系的建立
V1
a1
c1 b1
当直线或平面和投影面处于一般位置时，则 它们的投影就不具备上述的特性。
投影变换就是将直线或平面从一般位置变换 为和投影面平行或垂直的位置，以简便地解决它 们的定位和度量问题。
b a
a
b
两点之间距离
c b
a
a
c
b
三角形实形
c a
b
d dc
a
b
两平面夹角
c
d a
b
b
a
d
c
直线与平面的交点
4. 2 换 面 法
a1 b1
b
a1 b1
b 一次换面即可
3.将一般位置直线变换为投影面的垂直线
X2
a2 b2
b1
V1
a1
X1 需要二次换面
a2 b2 一般位置直线变换为投影面垂直线的作图
[例题2] 求点C 到直线AB 的距离
空间分析
作图
c1 k1∥ X2
a1 c1
k1 b1
k'
b'2 k'2
a'2
c'2
距离
V/H V1/H V1/H2 V3/H2 V/H V/H1 V2/H1 V2/H3
4.2.3 基本作图
1.将一般位置直线变换为投影面的平行线
b1
a1
b1
a1
一次换面即可
将一般位置直线变换为V1面的平行线
[例题1] 将一般位置直线变换为H1面的平行线
a1
b1
2.将投影面平行线变换为投影面的垂直线
c
c1
a
b1
b
X
a1
bc
X1
X1
a
V/H 体系变为V1/H 体系 V1/H 体系称为新投影体系；V/H 体系为旧投影体系。 V1称为新投影面；V称为旧投影面；H称为不变投影面。 X1称为新投影轴；X称为旧投影轴。
2. 新投影面的选择原则
V1∥AB VC1 H
新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： (1) 新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 (2) 新投影面必须垂直于于原投影体系中的一个不变投影面。