方程系数的重要性： 1.方程的解和完全由方程的系数来决定 2.方程的解的解析性完全是由方程的系数的解析性决定
定义1
若系数p( z )和q( z )都在点z0及其邻域内解析 则称z0为方程的常点
定义2
若p ( z )和q z 中至少有一个在点z0不解析 则称z0为方程的奇点,若( z z0 ) p ( z )和 ( z z0 ) 2 q ( z )都在方程的奇点z0解析，则称 z0为方程的正则奇点，否则称z0为方程的 非正则奇点.
2k k 0 k 0
Legendre方程 通解形式
其中 y0 ( x ) 1
k 1
(2k 2 l )(2k 4 l )
(2 l )( l )(l 1) (2k )!
(l 2k 1) x 2 k 1
x2k
(2k 1 l )(2k 3 l ) (1 l )(l 2) y1 ( z ) x (2k 1)! k 1
k
将以上俩式综合起来为 (2 l 2k )! Pl ( x) (1) l xl 2 k 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0
例2
Bessel (贝赛尔)方程
d 2 w 1 dw 2 (1 2 ) w ，且z0 0 是方程的正则奇点.
5.2 方程常点邻域内的解
1.常点邻域内的级数解定理
若p ( z )和q ( z )在圆形域 | z z0 | R内单值解析，则常微分初值问题 d 2w dw q( z ) w 0 2 p( z ) dz dz w( z ) a , w( z ) a 0 0 0 1 在圆形域 | z z0 | R内存在唯一的解析解w( z )，其中a0，a1为任意 给定的复常数.
由于上式恒等，所以x的各次幂系数都等于零，即 ( k 1)( k 2) ak 2 [ k ( k 1) l (l 1)]ak 0 于是，得到系数之间递推关系 k (k 1) l (l 1) (k l )(k l 1) ak 2 ak ak (k 1)(k 2) (k 1)(k 2) 从而可写出所有的系数，可得方程解为 y ( x) a2 k x a2 k 1 x 2 k 1 a0 y0 ( x) a1 y1 ( x)
Legendre方程在自然边界条件下的解：
系数的一般表达式为 al 2 k (2 l 2k )! (1) l 2 k !(l k )!(l 2k )!
k
2k l
当l为偶数时，Legendre方程满足自然边界的解为 a0 y0 ( x) al 2 k x
k 0 l 2 l 2k
(l 2 k )
Legendre方程通解在 | x | 1总收敛，在 | x | 1收敛与否不考虑， 在 | x | 1时级数解的收敛性为：当l不是整数时，y0 ( x)和y1 ( x) 在x0 1均发散；当l为偶数时y1 ( x)在x0 1发散；当l为奇数 时，y0 ( x)在x0 1发散.
(2 l 2k )! (1) l xl 2 k 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0
l 2 k
当l为奇数时，Legendre方程解为 y1 ( x)
( l 1) 2 k 0
a
l 2k
x
l 2 k

( l 1) 2

k 0
(2 l 2k )! (1) l xl 2 k 2 k !(l k )!(l 2k )!
k 0
定理1，此方程有如下形式解
于是
y( x) kak x k 1
k 0
y( x) k (k 1)ak x k 2
k 0
将以上三式代入Legendre方程，得
(k 1)(k 2)a
k 0

k [ k ( k 1) l ( l 1)] a x 0 k 2 k
此种方法称为级数解法
Legendre方程的级数解
在x0 0的邻域内求解Legendre方程
2 d y dy 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) y 0 dx dx 其中l为已知参数.
由于Legend方程的系数p ( x)
2x l (l 1) 和 q ( x ) 在x0 0 2 2 1 x 1 x 及其邻域内解析，所以x0 0是Legendre方程的常点，根据 y ( x ) ak x k
根据Taylor展开定理，圆形域 | z z0 | R内解析的解 w( z )可展为Taylor级数w( z ) ak ( z z0 ) k ,其中
k 0
( z z0 )0 和( z z0 )1的系数正好和初值条件一致，把级 数解代入微分方程并比较两端系数，就可求出所有 的系数ak，从而得到方程的解.
第五章 二阶线性常微分方程的级数解法
本章主要限于讨论方程常点和 奇点邻域内的级数解法。
本章结构

5.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点 5.2 方程常点邻域内的解 5.3 方程正则奇点邻域内的解
5.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点
二阶线性齐次常微分方程的一般形式为
d 2w dw p( z ) q( z ) w 0 2 dz dz 其中p( z )和q( z )称为方程的系数
例1
Legend (勒让德)方程
2 d w dw 2 (1 z ) 2 2 z l (l 1)w 0 dz dz
2z l (l 1) 解：方程的系数为p( z ) ，q( z ) 2 1 z 1 z2
p( z )和q( z )在复平面上有两个奇点z0 1，所以 z0 1是Legendre方程的奇点外，有限远处的其 他点都是方程的常点.