第五章 非平稳信号处理方法


经典的傅里叶分析能够完美地描绘平稳的正弦信号及其组合，
但不能恰当地反映非平稳信号的特征。 许多随机过程从本质上来讲是非平稳的，例如语音信号、冲 击响应信号 、机组启、停机信号等。 必须寻找既能够反映时域特征又能够反映频域特征的新方法。
本章介绍短时傅里叶变换、小波变换和小波包分析等非平稳




x(t ), h(t )e j 2ft
(5.1.2)
h(t ) 是中心位于 0，高度为 1、宽度有限的时窗函数，通过 h(t ) 所观察到的信 号 x(t ) 的部分是 x(t )h(t )。 h(t )e j 2ft 是 STFT的基函数。
x(t)h(t)
h(t) 1
h(t-τ)
x(t)
0
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τ
t
5
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5.1 短时傅里叶变换
窗函数 h(的选取是关键。最优窗函数是高斯函数。 t)
hG (t ) 1 2 e
t2 4
0
(5.1.3)
高斯窗函数的形状是：
1 ，1/4 ， 1/16
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5.2 小波变换
5.2.1 多分辨分析及其工程意义
j Z; 3) 伸缩规则性： x(t ) V j x(2t ) V j 1 , (5.2.9)
性质3)表明所有的子空间可以由一个基本空间通过尺度的伸缩变化得到， 在不同的分辨率时，逼近运算相同。
“小波”就是小的波形。所谓“小”是指局部非零，波形 具有衰减性；“波”则是指它具有波动性，包含有频率的 特性。 小波分析的思想来源于伸缩和平移方法。
1910年A. Haar提出的规范正交系 1984年，J. Morlet在分析地震数据的局部性时引进了小波概念。 1986年，Y. Meyer构造出二进伸缩、平移小波基函数，掀起小波研究热潮。 1987年，S. G. Mallat将多分辨思想引入小波分析，提出快速塔形算法。 1988年，I. Daubechies构造了紧支集正交小波基，完善小波理论体系。 1989到1991年，R. R. Coifman、M. V. Wickerhauser等提出小波包及算法。 1997年，W. Sweldens提出第二代小波变换的概念和算法。
5.2.4)
x(t ) (t ) x( ) * (t )d
* x ( t ) ( t )dt
两式相比较，只是将 (t ) 改成 ( t ) [(t )] ，即 (t ) 首尾对调。 如果 (t ) 是关于 t 0 的对称函数，则计算结果无区别； 如 果是非对称，在计算方法上也无本质区别。
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第五章 非平稳信号处理方法
5.1 短时傅里叶变换
5.2 小波变换
5.3 小波包信号分解与频带能量监测
5.4 工程应用
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5.2 小波变换
近年来在工具和方法上有重大突破的小波变换，为非平稳 信号分析展示了美好的前景。
性质1)表明分辨率为 2 j 1 的子空间 V j 1 中的逼近信号包含了分辨率为 2 j 的 子空间 V j 的信息以及分辨率低于 2 j 的所有信息。这也称为因果性质。
2 2) 渐近完全性： V j L ( R); jZ
2
V 0;
j jZ
(5.2.8)
性质2)表明所有子空间组成 L ( R) 函数空间。随着分辨率的提高，逼近信号 就更接近原始信号；反之，随着分辨率的降低，逼近信号所包含的信息就 越来越少。因此，在以分辨率为 2 j 时得到的逼近信号与原始信号相比较， 将会丢失部分信息。
WTx (b, a) a
1 / 2



x(t ) * (
t b )dt x(t ), b, a (t ) a
(5.2.2)
小波变换是用小波基函数 (t )代替傅里叶变换中的基函数 e j 2ft 以及短时傅里叶变 换中的基函数 h(t )e j 2ft 而进行的内积运算。
b, a (t ) a 1 / 2
t b a
(5.2.1)
a 0 ，b 是时移因子。 a 1 ，波形收缩； a 1，波形伸展。 式中a 是尺度因子， a 1 / 2 保证在不同的 a 值下，即在小波函数的伸缩过程中能量保持相等。
信号 x(t ) 的小波变换为
tf 1 4
(5.1.6)
上式中，当且仅当采用了高斯窗函数，等式成立。 时间分辨率和频率分辨率一旦确定，则STFT在整个时频平 面上的时频分辨率保持不变。 短时傅里叶变换能够分析非平稳动态信号，其基础是傅里 叶变换，更适合分析准平稳(quasi-stationary)信号。 反映信号高频成份需要用窄时窗，而反映信号低频成份需 要用宽时窗。短时傅里叶变换不能同时满足这些要求。
1946年Gabor提出了窗口傅里叶变换，称为短时傅里叶 变换（Short Time Fourier Transform, STFT）。
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5.1 短时傅里叶变换
由加窗信号 x(t )h(t的傅里叶变换产生短时傅里叶变换。 )
STFTx ( , f ) x(t ) h* (t ) e j 2ftdt x(t ) h(t )e j 2ft dt
b 小波变换的实质就是以基函数 t a 的形式将信号 x(t )分解为
不同频带的子信号。
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5.2 小波变换 对信号 x(t ) 进行小波变换相当于通过小波的尺度因子和时移 因子变化去观察信号。
c c′
t
d′
d
时宽减小（频宽增大）
尺
度
时宽增大（频宽减小）
a
平 移b
小波变换的局部化是变化的，在高频处时间分辨率高，频 率分辨率低；在低频处时间分辨率低，频率分辨率高，即 具有“变焦”的性质，也就是具有自适应窗的性质。
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5.2 小波变换 式(5.2.2) 通过变量置换可改写为
WT x (b, a) a
5.2 小波变换
5.3 小波包信号分解与频带能量监测
5.4 工程应用
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5.1 短时傅里叶变换
ft 傅里叶变换用平稳的正弦波作为基函数 e j 2，通过内积运 算去变换信号 ，得到其频谱 。 x(t ) X( f )
X( f )


x(t )e
t STFT的时间分辨率是 ，有
(t ) 2
2 t h(t ) dt 2
h(t )
2
(5.1.5)
dt
两个脉冲的时间间隔大于 ，则可区分这两个脉冲。 t
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5.1 短时傅里叶变换
时间分辨率 t 和频率分辨率 f 不可能同时任意小，根据 Heisenberg不确定性原理，有以下限制
信号分析方法的原理、特点及其在工程中的应用。
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第五章 非平稳信号处理方法
5.1 短时傅里叶变换
5.2 小波变换
5.3 小波包信号分解与频带能量监测
5.4 工程应用
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第五章 非平稳信号处理方法
5.1 短时傅里叶变换
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5.2 小波变换 当机器发生故障时，信号所包含机器不同零部件的故障特 征频率分布在不同的频带里。
如何提取这些被淹没的微弱信息而实现故障的早期诊断问 题，往往使传统的信号分析技术无能为力。
小波变换能够实现信号在不同频带、不同时刻的合理分离。 这种分离相当于同时使用一个低通滤波器和若干个带通滤 波器而不丢失任何原始信息。 为机器零部件故障特征频率的分离、微弱信息的提取以实 现早期故障诊断提供了高效、有力的工具。 特别要强调，这些优点来自小波变换的多分辨分析和小波 基函数的正交性。
近一个世纪，特别是近二十年来，小波理论和算法发展突
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飞猛进。为信号处理领域里各自独立开发的方法建立了一 个统一的框架
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5.2 小波变换 由基本小波或母小波 (t )通过伸缩 a 和平移 b 产生一个函数 族 b, a (t ) 称为小波。有
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5.1 短时傅里叶变换
给定窗函数 h(t 和它的傅里叶变换 )
(f ) 2
，则带宽 H (f)
为 f
(5.1.4)

f 2 H ( f ) df
2
H( f )
2
df
STFT的频率分辨率是 f 。两个正弦波之间的频率间隔大 于 ，则可区分这两个正弦波。 f
1/ 2
b b * 1/ 2 x ( at ) ( t ) d t a x ( at ), ( t ) a a

(5.2.3)
) 随着尺度因子 a 的改变，通过一个恒定的滤波器 (t b / a 观 ) 察到被伸展或压缩了的信号波形 x(at 。
尺度因子解释了信号在变换过程中尺度的变化，用大尺度 可观察信号的总体，用小尺度可观察信号的细节。 式(5.2.3)解释了为什么在S. G. Mallat的小波信号分解塔形 快速算法中，始终使用同样的低通与高通滤波器的道理。