C
0 n
C
1 n
C
2 n
C
r n
， C
n n
2n
变形式 C
1 n
C
2 n
C
r n
。 C
n n
2n 1
③奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令 ，则 a 1,b 1
C
0 n
C
1 n
C
2 n
C
3 n
， (
1)
n
C
n n
(1 1)n
0
从而得到： C
0 n
C
2 n
C
4 n
C
2 n
r
例 2．求 (3 x 1 )4 的展开式； x
分析：解决此题，只需要把
(3 x
改写成 1 ) 4
[3 x
(
1 )]4 的形式然后按照二项展
x
x
开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
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3．二项式展开式的“逆用”
例 3．计算 ； C C C c 1 3
1
n9
2 n
幂排列。各项的次数和等于 n .
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是
项的系数是 C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,
,
C
r n
,
,
C
n n
.
a 与 b 的系数（包括二项式系数）
。
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4．常用的结论：
令 a 1,b x, 令 a 1,b x, 5．性质：
(1 x)n
式中各项系数分别
为 A1 , A2 ,
，设第 , An 1
r
1项系数最大， 应有
Ar 1 Ar 1
Ar ，从而解出 r 来。
Ar 2
题型一：求二项展开式
1．“ (a b) n”型的展开式
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例 1．求 (3 x 1 )4 的展开式； x
解：原式 = = 3x (
1) 4
x
(3x 1) 4 x2
C
1 n
C
3 n
C
2 n
r
1
1 2n 2
2n 1
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
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n
0n0
1 n1
2 n2 2
(a x) Cn a x Cna x Cn a x
n0n
1
2
Cn a x a0 a1x a2 x
(x a)n
C
0 n
a
0
x
n
C
1 n
ax
n
1
C
2 n
a
2
x
n
2
Cnna n x 0 an x n
④通项：展开式中的第
r
1项
C
r n
a
n
r
br
叫做二项式展开式的通项。用
3．注意关键点：
表示。 Tr 1
C
r n
a
n
r br
①项数：展开式中总共有 (n 1) 项。
②顺序：注意正确选择
a , b , 其顺序不能更改。
(a
与 b )n
(b
a) n 是不同的。
③指数： a的指数从 n 逐项减到 0 ，是降幂排列。 b 的指数从 0 逐项减到 n ，是升
27
3 n
....
( 1)n 3n
n n
解：原式 = C C C C C 0
1
(
3) 1
n
n
2
(
3)2
n
3
(
3) 3
....
n
3
(
3) n
(1 3) n
( 2) n
n
小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式
本质。
题型二：求二项展开式的特定项
1． 求指定幂的系数或二项式系数
（ 1）求单一二项式指定幂的系数
例 4．（ 03 全国） (x2 1 ) 9展开式中 x9的系数是
；
2x
解： C = C =C Tr 1
r (x2 )9 r ( 1 )r
9
2x
r x18 2r ( 1 )r ( 1) r
9
2x
r
(
1 ) r x18 3 x
92
令 则 18 3x 9, r 3，从而可以得到 x9的系数为：
C3
(
1) 3
C
0 n
C
1 n
x
C
2 n
x2
(1 x) n

0 n
C
1 n
x
Cn2 x 2
C
r n
x
r
C
r n
x
r
C
n n
xn
(
n
N)
(
1)
n
C
n n
x
n
(
n
N)
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即
，··· C
0 n
C
n n
C
k n
C
k n
1
②二项式系数和：令
a b 1, 则二项式系数的和为
a2 x 2
令 x 1, 则 a0 a1 a2 a3
an ( a 1)n
①
令 x 1,则 a0 a1 a2 a3
an ( a 1)n
②
① ②得 , a0 a2 a 4
an (a 1)n (a 1)n (奇数项的系数和 ) 2
① ②得 , a1 a3 a5
an ( a 1)n ( a 1)n (偶数项的系数和 ) 2
= C C C C C 1 x2 [
0 4
(3
x
)
4
1 4
(3
x)
3
2 4
(3
x)
2
3
4 (3x)
4
4]
=1 x2
( 81x4
84 x3
54x 2
12x 1)
= 81x 2
12 84x
x
1 x2
54
小结： 这类题目一般为容易题目， 高考一般不会考到， 但是题目解决过程 中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。 2． “ (a b)n ”型的展开式
1，则第二个因式中必出
，其系数为 x 3
C4
(
2) 4
7
的系数应为： 填 。 x3
C C 6
7(
2) 6
4
7(
2) 4
1008,
1008
（3） 求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数
例 6．（ 04 安徽改编） (x 1 2)3的展开式中，常数项是
；
x
解： (x
1 x
2)3
(x [
1) 2 ] 3
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二项式定理
1．二项式定理：
(a b)n
C
0 n
a
n
Cn1a n 1b
2．基本概念：
C
r n
a
n
r br
， C
n n
b
n
(
n
N)
①二项式展开式：右边的多项式叫做 (a b)n 的二项展开式。
②二项式系数 : 展开式中各项的系数
. C
r n
(r
0,1,2, , n)
③项数：共 (r 1)项，是关于 a 与 b 的齐次多项式
x
( x 1)6 x3
上述式子展开后常数项只有一项
C ，即 3 x3 ( 1)3
6
20
x3
本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后，用二项式 定理的知识解决， 考查了变型与转化的数学思想。
2． 求中间项
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n
anx a1x1 a0
⑤二项式系数的最大项： 如果二项式的幂指数 n是偶数时， 则中间一项的二项
n
式系数
C
2 n
取得最大值。
如果二项式的幂指数 n 是奇数时， 则中间两项的二项式
n1
n1
系数 Cn2 , Cn 2 同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求 (a bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开
92
21， 填 21
2
2
（ 2） 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
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例 5．（ 02 全国）（ x2 1)( x 2)7的展开式中， x3项的系数是
；
解：在展开式中， x3的来源有：
① 第一个因式中取出
x 2 ，则第二个因式必出
x ，其系数为
C ； 6 (
2) 6
7
② 第一个因式中取出