本构关系研究的论文。
因此塑性本构理论吸引了一些优秀的科学家在从事这 方面的研究。
基本假设
本课程介绍的弹塑性本构关系除先前的各向同性假设和 静水应力不影响屈服的假设外，还采用了两个假设
（1）小变形假设 （2）率无关假设（仅考虑等温过程中的率无关材料）
内变量的引入
内变量——用来刻划材料加载历史的宏观参量，可以描述 经历塑性变形后材料内部微观结构的变化。较常见（用得 较多）的内变量是等效塑性应变。
（16）
内变量的演化方程
当产生新的塑性变形时，内变量也会有所改变。假定内 变量演化方程有以下的形式 （17） Z ,

ij

将（17）式代入（16）式，解出
g g Z ij ij
f g ˆij g kl ˆ kl ij

（用到了（23）式）
ˆ g ˆ f
g ˆg ˆij g ˆ ˆ f ij g ˆij 1 ij
（24）
（25）
于是得到应变加载准则描述的应力加载准则。
当按应变加载准则判断为弹塑性加载时
（9）
可以得到 常用的表 达式

E ij 1
ik jl 1 2 ij kl kl 1 ij ij ij kk E E
（10）
从上式，注意到应力偏量和应变偏量的定义还可得
（23）
ij ˆ Z 式中， ij
。
弹塑性加载时
ˆ g

g g P ij kl kl M ijkl ij ij


（这里用到（3）式） （用到了（15）式）
f g P kl kl kl ij
Lijkl M klpq M ijkl Lklpq 1 ip jq iq jp 2
（5）
对于弹性张量为四阶各向同性弹性张量时，有
Lijkl 0 ij kl ik jl il jk 1 ik jl il jk M ijkl ij kl E 2E
1 ij s E 1 2 kk kk E ij e
kl ij kk ij ( 11 22 33 ) ij kl
（11）
作业

ik
kl 2 ij 2ik jl kl jl il jk
一般地，6个方程中只有5个方程是独立的。
§4.2 应变空间中的加载曲面和加、卸载准则
应变空间中的加载曲面 应力空间中的加载曲面是（见§3.8（68）式）
f ij , 0
当 固定时，应力与应变有一一对应的关系，即
ij ij kl ,
于是有
f ij , f ij kl , , g kl , 0
（13）
由（12）、（13）式，可得
g f ij f Lijkl kl ij kl ij
f g ij g M ijkl kl ij kl ij
（14） （15）
f ij g ij
与应力空间中加载曲面的外法线向量重合。
证明（26）式和（27）式的等价性 如果（27）式成立

d ij d ij 0
(1) ( 2) 设应力沿直线路径单调地由 ij 变化到 ij ，则有 (1) ( 2) (1) ij ij ( ij ij ) (0 1)
( 2) (1) d ij d( ij ij )
（4）
而(3)式中
ij kl , Lijkl
e ij p ij
分别称为弹性应力率和塑性应力率
e ij ijp kl , M ijkl
ij
分别称为弹性应变率和塑性应变率
两个四阶弹性张量有互逆关系：
在直角坐标系中，应力应变之间的率关系或增量关系可写为
P kl ij Lijkl ij P kl ij ij M ijkl
（3）
当 固定时，式中
Lijkl ij kl , M ijkl ij kl
1
令
g Z
1
，
ˆ g
g ij ij
（18）
则内变量的演化规律可以表示为
Z , g ˆ ij
（19）
应变加、卸载准则
没有变化。 若有变化， 我们知道应变在加载曲面内时， 应变必然在加载曲面上。故上式只适用于弹塑性加载过程。
（12）
上式表示对于任意固定的内变量 ，应力空间中的加载曲 面可由应变空间中的一个曲面来描述，即存在一个应变空
间中的加载曲面。
反之，当固定 时，应力与应变有一一对应的关系， 由 ij ij kl , 0 ，可有
g ij , g ij kl , , f kl , 0
g 此时 g 0且 g 表示应变在加载曲面 ij 0 。 g 0 ˆ ij g ij 0 表示应变增量指向 g ˆ 上， g 的增长方向（注 ij 意 g 与 g 的外法线重合）。
ij
因此一般有
0, 0, 0, ˆ, Z g
§4.3 有关材料性质的几个假设
一、稳定材料的假设 当应力的单调变化引起应变的同号单调变化，或反过来说， 应变的单调变化引起应力的同号单调变化时，称材料是稳定 的。

或
( 2) ij
(1) ij(2) ij(1) 0 ij
（26）
（27）
d ij d ij 0
§4.1 塑性应力率和塑性应变率
回顾一维情形：
, 0
E( p )
E p E
E E p
0 p 0 当 固定时，
E
或
t E(t t p )
1 E
ij
1 kk ij ij ik jl 1 ij kl kl E E
对于偏应力－偏应变关系的方程
1 ij ij e s E
因为
1 kk kk 0 e s E
International Journal of Plasticity (IJP)和International Journal of Solids and Structures (IJSS)每年登出的论文 中有很多是关于材料塑性本构关系研究的论文。
以Constitutive Equation或Constitutive Model等为 关键词查询，可以在 Elsevier 刊物上查到大量的关于塑性

( 2) ij
( 2) ij
(1) dij 1 ij(2) ij(1) dij ij(2) ij dij 0 ij
与应变空间中加载曲面的外法线向量重合。
于是知（14）（15）两式给出了在应力空间和应变空间中加 载曲面的外法线向量之间的关系。
应变空间中加载曲面的一致性条件
对于应变加载曲面
g ij , 0 ，也可以给出一致性条件
g g ij 0 ij
上式称为（应变空间的）加、卸载准则。它表示应变在加 载曲面上（即 g 0 ）且增量应变指向加载曲面外部
（即 g ˆ 0）时，材料才有新的塑性变形产生。
g0
上式也可简写为
ˆ Z ij , g
（21）
其中
0, ˆ g ˆ, g
ˆ 0 g ˆ 0 g
0
ˆ 0 f ˆ 0 f
g 0
ˆ 0 g
材料处于强化状态，加载曲面扩大
0 0

ˆ 0 ，不是中性变载） 加载曲面不变，理想塑性材料（ g
塑性变形在增加，但应力加载准则无法判断（失效）
g ij 0 ij
ˆ 0 f
ˆ g
g0
因此，应变加载准则的适用范围比应力加载准则的适用范围 要宽。
P kl ij Lijkl ij P ij M ijkl ij
Lijkl L jikl Lijkl Lklij M ijkl M jikl M ijkl M klij
（7）
其中
0
E
(1 )(1 2 )
,
E 2(1 )
（8）
称为拉梅常数。
在弹性状态，由（3）和（7）式有
kl 0 ij kl ik jl il jk kl ij Lijkl 1 ij M ijkl kl ik jl il jk kl E ij kl 2E
应力加载准则与应变加载准则的关系
在应力空间中加载准则可写为
ˆ f ij f ij
（22）
ˆ 0 f
对应加载， fˆ 0 对应中性变载，fˆ 0 对应卸载。
由于塑性应变率（见（3）式）
P ij
ij ij ˆij g ˆ ˆ Z g
g0 ˆ0 g 0, g ˆ 0 g 0, g ˆ 0 g 0, g
（20）
g g ij 0 ij
0, 0, 0, ˆ, Z g
g0 ˆ0 g 0, g ˆ 0 g 0, g ˆ 0 g 0, g