分块矩阵及其应用【摘要】矩阵论是代数学中是一个重要的组成部分和主要的研究对象。

而分块矩阵可以降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更加清晰，从而使矩阵的相关计算简化，并且可以证明一些与矩阵有关的问题。

本文详细且全面论述了分块矩阵阵的概念、分块矩阵的运算和其初等变换，而且证明了矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵证明矩阵秩的问题，用分块矩阵求行列式问题，用分块矩阵求逆矩阵的问题,分块矩阵相似的问题。

【关键词】：分块矩阵；矩阵的秩；逆矩阵；行列式目录1引言 (2)2矩阵分块的定义和性质 (2)2.1 矩阵分块的定义 (2)2.2 分块矩阵的运算 (2)2.3 分块矩阵的初等变换 (3)2.4 n阶准对角矩阵的性质 (3)3分块矩阵在高等代数中的应用 (4)3.1 分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用 (4)3.2 利用分块矩阵计算行列式 (7)3.3 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 (11)3.4 分块矩阵在解线性方程组方面的应用 (16)4总结 (19)参考文献 (20)1 引言矩阵是高等代数中的一个重要内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。

在学习高等代数的时候常常碰到一些很难的问题，我们要经常用到矩阵的分块去解决，它可以使矩阵的结构更简单，从而使问题的解决更简明。

比如当我们处理阶数较高或具有特殊结构的矩阵时，用处理一般低阶矩阵的方法，往往比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常把一个大型矩阵分成若干子块，把每个子块看作一个元素，从而构成一个分块矩阵，这是处理矩阵问题的重要技巧。

利用矩阵的分块，可以把高阶矩阵划分成阶数较低的“块”，然后对这些以“块”为元素的矩阵施行矩阵的运算。

本文就分块矩阵的加法、乘法、转置、初等变换等运算性质，及分块矩阵在证明矩阵相关秩的问题、矩阵求逆、行列式展开计算等方面的应用作了较为深入的研究。

矩阵的分块能使矩阵的一些证明和计算变的非常简洁和快速，易于理解和掌握，而且能开拓思维，提高灵活应用知识解决问题的能力。

2 分块矩阵的定义和性质2.1分块矩阵的定义矩阵分块，就是把一个大矩阵看成一些小矩阵组成的，当运算时，把这些小矩阵当做一些数来处理，给矩阵的运算带来了方便。

设A 是数域P 上的m n ⨯矩阵，将A 的行分割r 段，每段分别包含12rm m m 个行，又将A 的列分割为s 段，每段包含12s n n n 个列。

于是A 可用小块矩阵表示如下：A=111212122212s s r r rs A A A AA A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中ij A 是i j m n ⨯矩阵,这种分割法称为矩阵的分块。

2.2分块矩阵的相关运算性质2.21.加法运算：设()ij m n A a ⨯=()ij m n B b ⨯=为同型矩阵（行和列数分别相等）。

若采用相同的分块法,A=111212122212s s r r rs A A A AA A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B= 111212122212s s r r rs B B B BB B B B B ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则可以直接相加。

2.22乘法运算:设AB=C （A 、B 为同型矩阵且有相同分块方式），则C 有如下分块形式：C=111212122212s s r r rs C C C C C C C C C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭， 其中 1n ij ij ij i C A B ==∑2.23.分块矩阵的转置：一般地，设A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡st s s t t A A A A A AA A A (2)12222111211是一个分块矩阵，那么⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'''''''''='st t t s s A A A A A A A A A A (2)12221212111分块矩阵取转置的规则：第一步：把A 的每一块都看成元素（数）取转置 第二步：对A 的每一块取转置。

2.3.分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换是处理分块矩阵有关问题的重要工具，我们可以 根据矩阵的初等行变换推广得到如下定义： 定义：以下三种变换称为分块矩阵的初等行变换（1）用一个行列式不为零的方阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行。

（2）互换两块行的位置。

（3）把一个块行的P （矩阵）倍（即这个块行里每一个小矩阵都左乘或右乘一个矩阵P ）加到另一块行上。

2.4. n 阶准对角矩阵有如下性质：（1）对于两个同类型的n 阶准对角矩阵（其中同为阶方阵），A=12S A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B=12S B B B ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，有: AB= 11220S S A B A B A B ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2）；（3）A 可逆等价于(1,2,)i A i n =可逆，且111121r A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

2.5分块矩阵相似的条件定义1：设,A B 为n 阶分块矩阵，若存在可逆分块矩阵P ，使得1B P AP -=则称A 相似于B ，记作A B 。

对A 进行矩阵的积运算1P AP -称为对A 进行相似变换，可逆分块矩阵P 称为把A 变成B 的相似因子阵。

相似是分块矩阵间的一种特殊的等价关系，即两个相似分块矩阵是等价分块矩阵；反之不然。

这就是说相似关系具有一下性质： 1) 反身性 AA ；2）对称性 若A B ,则B A ；3）传递性 ,,A B B C A C 若则。

设111122,,B X A X B X A X --==由定义还可得到相似矩阵的以下运算性质： 1）11212();B B X A A X -+=+ 2）11212();B B X A A X -=3）1111,();T T T B Y A Y Y X --==其中 4）111()(),f B X f A X -=其中[]()f x P x 为中的任意一个多项式。

特别有111()k k B X A X k -=为正整数。

定理1 两个对角矩阵相似的充要条件为对角线上的元素相同，只是排列顺序不同。

证明：设A ，B 是两个对角矩阵且A 相似于B ，则由相似矩阵的性质知，存在可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，即1()B X X λλ-I -=I -A于是有1B X B XAλλλ-I -=I -=I -又由A,B 为对角矩阵知，上式成立的充要条件是对角线上元素相同，仅仅排列顺序不同。

定义2 设f 是定义在全体n 阶分块矩阵聚合n n F ⨯上的函数，若对n n F ⨯中的任意两个相似矩阵A 和B ，总有()()f A f B =，则称f 为相似不变量。

定理2 矩阵的行列式是相似不变量。

证明：设A B ，则存在可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，于是11B X AX X A X A --===这说明行列式是相似不变量。

3分块矩阵在高等代数中的应用3.1．分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用定理 1 设A 是数域P 上m ×n 矩阵，B 是数域P 上 n ×s 矩阵，于是 秩()AB ≤min{秩A ,秩B }，即乘积的秩不超过各因子的秩。

证明 : 为了证明此定理，只需证明秩（AB ）≤秩（A ）,同时秩（AB ）≤秩 （B ）。

现在来分别证明这两个不等式。

令s m C ⨯=n m A ⨯⋅s n B ⨯，A =()12,n a a a ,C =()12,s γγγ则(s γγγ 21,)=()12,n a a a ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ns n n s s b b b b b b b b b 212222111211 ∴nns s s s nn n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++=+++=+++=22112222112212211111γγγ∴s γγγ 21,()I 可由n a a a 21,()II 线性表示 ∴秩()I ≤秩()II ,即秩()C =秩()AB ≤秩()A 令C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m n n n 21，Ｂ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n βββ 21 所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m n n n 21=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n βββ 21 即11112121212122221122n n n n s m m mn na a a a a a a a a ηβββηβββηβββ=+++=+++=+++∴m ηηη 21,()III 可由n βββ 21,()IV 线性表示 ∴秩()III ≤秩()IV ,即秩()C =秩()AB ≤秩()B 即秩()AB ≤()()min{A B }秩，秩定理 2 设A 、B 都是n ×n 矩阵，证明：若0AB =,那么秩()A +秩()B ≤n . 证明：对B 分块如下:()12n B B B B =由于0AB =即()120n AB AB AB = 即()01,2,,i AB i n ==说明B 的各列i B 都是0AX =的解.从而秩()12n B B B ≤基础解系的维数=n -秩()A即秩()A +秩()B ≤n3.2分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用例1 设A 、B 都是n 阶矩阵,求证:秩()AB A B ++≤秩()A +秩()B证明：因为 （第2行×(-E)+第1行） （第1列×（-B-E ）+第2列）(2)(1)O B A AB A B A AB A E O B +++⎡⎤⎡⎤-⨯+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(1)()(2)B E ⨯--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡B O O A 所以由初等变换知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-E O E E ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++B O B A AB AE B E O E --⎡⎤⎢⎥⎣⎦=⎥⎦⎤⎢⎣⎡B O O A 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-E O E E ，E B E O E --⎡⎤⎢⎥⎣⎦都可逆 所以秩⎥⎦⎤⎢⎣⎡++B OB A AB A=秩⎥⎦⎤⎢⎣⎡B O O A 而秩⎥⎦⎤⎢⎣⎡++B OB A AB A≥秩[]B A AB ++秩⎥⎦⎤⎢⎣⎡B O O A =秩A +秩B 所以秩()B A AB ++≤秩()A +秩()B例2 设A 为m n ⨯矩阵,s A 是从A 中取s 行得到的矩阵,则()()s A A s m ≥+-秩秩证明：不妨设s A 是A 的前S 行,而后m s -行构成的矩阵为B ,则00s s A A A B B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦又显然有()()()A B A B +≤秩秩+秩于是()()00s s A A A m s B ⎡⎤⎡⎤≤≤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦秩秩+秩秩例3设A 为s ×n 矩阵，则有秩(T E AA -)-秩(T S E A A -)=n-s 证明：因为STE A A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭0S T E A E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=0T S E AA A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭又因为0S TEA E ⎛⎫⎪-⎝⎭可逆 所以秩STE A AE ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩0T S E AA A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而秩0T S E AA A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭=秩 (Ts E AA -)+n所以秩STE A A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩0T S E AA A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭=秩(T s E AA -)+n (1) 又因为0STE AE ⎛⎫ ⎪-⎝⎭STE A A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0S T E A E A A ⎛⎫⎪-⎝⎭同理可得 秩STE A A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩0STE A E A A ⎛⎫⎪-⎝⎭=秩(T E A A -) +s （2） （1）、（2）式相减即得秩(T E AA -)-秩(T S E A A -)=n-s3.2 利用分块矩阵计算行列式3.1 引理 设矩阵H=120S A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或H=120S A A A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中A1,A2,…,As 是实矩阵，且均为方阵,则|H|=|A1||A2|…|As| 3.2 利用分块矩阵计算行列式设A 、B 分别为m 与n 阶方阵.计算行列式H =A DC B矩阵A 或B 可逆时行列式|H|的计算 命题1 设A 、B 分别为m 与n 阶方阵.证明: (1)当A 可逆时,有A DC B=1A B CA D -•- (2)当B 可逆时,有A DC B=1A DB C B --证 (1)根据分块矩阵的乘法,有1100EA D A D CAE C B B CA D --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭由引理知,两边取行列式即得(1).(2)根据分块矩阵的乘法,有1100A D E DB A DB CC B E C B --⎛⎫⎛⎫--⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式即得(2).注意:利用命题1解题时,要注意条件:矩阵A 或B 可逆.推论1 设A,B,C,D 分别是m,n,n ×m 和m ×n 矩阵.证明(1)m E DB CDC B=- （3）(2)nC E = |A-DC|. (4)证明： 只需要在命题1的(1)中令A=Em,即得(3);在(2)中令B=En,即得(4). 推论2 C,D 分别是n ×m 和m ×n 矩阵.证明：m n m nE D E CD E CD CE =-=- （5）证明：证明 在推论1的(3)中,令B=En,在(4)中,令A=Em,即得(5). 例1 计算下面2n 阶行列式|2n H |=adadcbcb (a ≠0)解 令A=aa ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,B=b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，C=cc ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,D=dd ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭且都为n 阶方阵.由于a ≠0,故A 为可逆方阵.又易知 1111b ca db ca d B CA D b ca d ----⎛⎫-⎪- ⎪-=⎪ ⎪⎪-⎝⎭从而由命题1中(1)得 |2n H |=11()()n n n A D A B CA D a b ca d ab cd CB--==-=-=-例2 计算行列式1211111001na a a a ,(ai ≠0,i=1,2,…,n);解 设Q=C B，其中A=(0a ), B=1n a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭, C= ()1,1,,1T,D= ()1,1,,1因为ai ≠0,i=1,2,…,n,所以B 是可逆矩阵.又易知111ni i iA DBC a a -=-=-∑从而由命题1中的(2)得A DC B= 1A DB C --B .=1211nn i i ia a a a a =-∑例3：设行列式1221...1...000..................00...0000...1000...01a x a a a a xx x x P n n n+---=-- , 试展开P .解：把矩阵P 进行分块如下:P =1234122110...0001...0000...00..................000...1...nn n x xx A A A A xa a a a x a ---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦;其中110000000010000x x A x x -⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭当时0≠x ,011≠=-n x A ,1A 可逆。