证明：设
1
a 11
a 12
a 1r
A
2
a 21
a 22
a 2r
,
m
a m1
am 2
amr
1 a11 a12 a1r a1,r1
B
2
a21
a22
a2r
a2,r
1
.
m
am1
am2
amr
am,r 1
m r(A) r(B) m, r(B) m.
"": 1,2 ,,m线性相关,
由定理1知，必有某个向量(不妨设m )可由其余m 1个向量
线性表示,即 m k11 km1 m1.
写成分量形式为
amj k1a1 j k2a2 j
k a . m1 m1, j
1 a11
A
2
a 21
a12
a22
a1n
a2n
1, 2 ,, m线性无关。
对A作初等变换
m
am1
am2
amn
A
1
m1
a11
am1,1
m am1
a12
am1,2 am2
a1n
am1,n
a11
am1,1
amn 0
a12
am1,2 0
a1n
am1,n
0
r( A) m.
"": r( A) r m,不妨设r 0, 且A的最左上角的r阶子式Dr 0
Dr 0, 1,2 ,,r 1线性相关,
从而1,2 ,,m线性相关。
定理5：若 m 个 r 维向量
i (ai1, ai2 ,, air ) (i 1,2,, m)
线性无关，则对应的 m 个r+1 维向量
i (ai1, ai2 ,, air, ai,r 1) (i 1,2,, m)
也线性无关。
考虑A的r+1阶子式
a11 a1r
Dr1 ar1 arr
a1, j
.
ar, j
ar1,1 ar1,r ar1, j
r(A) r Dr1 0.
将D j按最后一列展开，有：
a1 j A1 a2 j A2 arj Ar ar 1, j Dr 0, j 1,2,, n.
a1j A1 a2 j A2 arj Ar ar1, j Dr 0,
a11A1 a21A2 ar1Ar ar D 1,1 r 0,
a12 A1 a22 A2 ar 2 Ar ar D 1,2 r 0, a1n A1 a2n A2 arn Ar ar1,n Dr 0.
j 1,2,, n.
按向量形式写，上式为：
1A12 A2 r Ar r1Dr 0.
相关性判定定理4与5的证明
定理4：m个n维向量i (ai1, ai2 ,, ain ) (i 1,2,m)线性
相关的充要条件是由i (i 1,2,m)构成的矩阵
A
1
2

a11 a21
m am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
的秩r( A) m.
证明定理4.