第一章 三角函数一、任意角和弧度制弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。

在弧度制下，扇形弧长公式L=|α|R ，扇形面积公式||21212αR lR S ==，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

1弧度(1rad)57.3≈.题型1：角度制与弧度制的互化例1、把下列角化为弧度制：(1)210，(2)252-，(3)155，(4)235-，(5)315，(6)500例2、把下列角化为角度制：315π（），3(2)8π，53π（3），3(4)10π-，(5)1.5，(6) 2.3-特殊角对应关系：180π= 角度0 30 45 60 90 180 270 360弧度6π 4π 3π 2ππ 32π2π圆心角l r α=，弧长03602,l r πα==⋅，12S lr =扇形 212S R α=【注意：公式中的角必须是弧度制】例3、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是3，求这个圆心角所对的弧长。

例4、.已知一个扇形的圆心角是120，半径为8,求它的弦长、周长和面积。

例5、已知扇形的周长为8，圆心角为2，求该扇形的半径、弧长和面积。

例6、已知扇形周长为20cm ，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？例7、已知扇形的面积为S ，当扇形的圆心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值.二、任意角象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

题型3：三角函数的正负和象限角例1、若cos 0α>，sin 0α<，则角α的终边在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 例2、已知角α是第三象限角，则角-α的终边在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 练习：如果α是第二象限的角，则0180α-是第 象限角。

例3、在0到2π范围内，与角43π-终边相同的角是（ ） A.6π B.3π C.23π D.43π 例4、（1）已知sin 0cos 0θθ<>且，则θ是第 象限角。

（2）已知sin cos 0θθ>，则θ是第 象限角。

（3）已知cos 0tan 0θθ<>且，则θ是第 象限角。

例7、sin2·cos3·tan4的值是 （填正数、负数、0、不存在）例8、在（0，2π）内满足x 2cos =－cos x 的x 的取值范围是_________． 例9、已知锐角α终边上一点的坐标为()2323sin ,cos ,-求角α=（ ） （A ）3 （B ）3- （C ）32π-（D ）32-π 题型4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.例1、若α是第二象限角，则2α是第_____象限角 例2、如果α是第三象限的角，那么,,22ααα-是第几象限角。

三、任意角的三角函数利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数。

设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记22y x |OP |r +==，则rysin =α，r xcos =α，xy tan =α。

题型3：三角函数的定义例1、已知角α的终边上一点的坐标为(2,4)-，求sin ,cos ,tan ααα。

例2、已知角β的终边上一点的坐标为(,4)x ，且3cos 5β=-，求cos ,tan ββ。

例3、已知角α的终边上一点的坐标为(3,4)-，求sin ,cos ,tan ααα。

例4、已知角α的终边上一点的坐标为(4,)x ，且3sin 5α=-，求cos ,tan αα。

四、同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：22sin cos 1αα+= （2）商数关系：sin tan cos ααα= 题型5：同角函数的基本关系式例1、已知α是第二象限角，且2sin 3α=，求cos ,tan αα。

例2、已知α是第四象限角，且3cos 4α=，求sin ,tan αα。

例3、已知α是第三象限角，且4tan 3α=，求sin ,cos αα。

例4、已知α是第三象限角，且1sin cos 5x x -=-，求sin cos x x 和sin cos x x +的值。

例5、已知tan 3x =，求sin cos 2sin cos αααα+-①，223sin cos 2sin cos αααα-②，22sin 2cos x x -③练习：已知,2tan =α求下列各式的值。

（1）4sin 2cos 5cos 3sin α-αα+α（2）2222sin 3cos 1sin sin cos α+α+α+αα（3）sin cos αα （4）αααα22cos 5cos sin 3sin 2--五、三角函数的诱导公式利用三角函数定义，可以得到诱导公式：即πα2k+与α之间函数值的关系（k ∈Z ），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”。

题型6：诱导公式sin()sin αα-=-①，cos()cos αα-=，tan()tan αα-=【正角与负角的转化】 sin(2)sin k παα+=②，cos(2)cos k παα+=，tan(2)tan k παα+=【周期转化】 sin()sin παα+=-③，cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=sin()sin παα-=④，cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-【钝角转化成锐角】sin()cos 2παα-=⑤，cos()sin 2παα-= 【正弦与余弦转化】例1、化简①sin(300)- ②cos570③ 5sin3π④ sin 480⑤5cos()3π- ⑥7tan 4π题型7：用基本关系式与诱导公式化简求值例2、化简下列各式：①cos tan αα②tanααπcos )21sin(=+)60tan()60sin(240tan 225cos ︒-+︒-+︒+︒的值是例3例4、（1）已知：tan 3α=，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值（2）已知3sin 5α=-，α是第四象限角，求tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+ （3）化简sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-例5、（1）化简：2sin 812cos82++ （2）．化简cos10(tan103)sin 50︒︒︒（3）cos 40sin 50(13tan10)sin 701cos 40︒+︒+︒︒+︒（4）21tan 1sin α- （5212sin10cos10cos101cos 170--- （6212sin190sin 80cos(350)1cos 170+--例6、化简：（1）︒⋅︒⋅︒80cos 40cos 20cos .（2）202020202020202020cos 5cos 15cos 25cos 35cos 45cos 55cos 65cos 75cos 85++++++++（3）=︒++︒+︒+︒180cos ......3cos 2cos 1cos【与其他知识综合】例7：（1）若A 、B 、C 分别为ABC ∆的内角，则下列关系正确的是（ ） A C B A sin )sin(=+ B A C B cos )cos(=+ C C B A tan )tan(=+ D A C B sin )sin(-=+（2）已知41log )sin(8=-απ，且)0,2(πα-∈，则)2tan(απ-的值为题型8、sin cos ,sin cos θθθθ±⋅关系问题例1．已知1sin cos ,(,)842ππθθθ=∈，求cos sin θθ-的值．例2．已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. （I ）求sin x －cos x 的值；练习：已知(),51cos sin ,,0=+∈θθπθ求下列各式的值。

⑴θθcos sin ⑵θθcos sin - ⑶θtan例3．已知sin cos m θ+θ=，求33sin cos θ+θ的值。

若1sin cos 2x x -=，则33sin cos ______x x -= 例4．已知：.33cos sin=+θθ求：θθ44cos sin +的值． 练习：若sin cos 1x x +=，则sin cos nnx x +的值是（ ） ()1A ()1B - ()1C ± （()D 不确定例5、若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __练习：若1(0,),sin cos 2απαα∈+=，求tan α的值。

例６．已知θ为锐角，且sin 2a θ=，则sin cos θθ+的值为（ ）()1A a + ()(21)1B a -+ ()1C a ±+ ()21D a -题型9、三角函数线特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”. 【三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式】。

例1、若08πθ-<<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为_____例2、若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_______六、三角函数的图象与性质 函数 y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域 RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域]1,1[-]1,1[- R奇偶性 奇函数 偶函数奇函数 周期性 π2π2πy TA xα B S O M P注意：单调性：正切函数在开区间(),k k k Z ππ⎛⎫-++∈内都是增函数。

但要例1、函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_______练习：求函数y =x sin +lg （2cos x －1）的定义域．例2、1[02]sin ()2x x π≥在，上满足的的取值范围是练习：（1）解不等式：sin )x x R ≥∈； （22cos 0()x x R ≥∈的x 的集合。

（3）在（0，2π）内，使sin x ＞c os x 成立的x 取值范围为(3) 若 o<x<π2,则sinx<x<tanx (2)(1)|sinx|>|cosx||cosx|>|sinx||cosx|>|sinx||sinx|>|cosx|sinx>cosxcosx>sinx16. 几个重要结论:OOxyxy知识点★★★：奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴是直线()x k k Z π=∈题型11：判断三角函数的奇偶性★★★sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数，tan y x =是奇函数。