p0 0
s
vt
p0 0
s
st v0
stt a22s0
a2
p0 0
4. 真空电磁波方程
电磁学的麦克斯韦方程（微分形式）
D
,
真空时：
E
Bt,
0 ,j 0 ,B 0 H ,D 0 E B 0 ,
H j Dt
H t 0E tt
E 0,
E 0 H t,
沿x-方向，不出现平移
T 2co2 s T 1co 1 s0
沿垂直于x-轴方向
f mdd2t2ymtyt mutt
T 2si2 n T 1 si1 n (d)u tx t
T 2co2 s T 1co 1 s0
T 2si2 n T 1 si1 n (d)u tx t 小振动： 1 0 ,2 0 ,c1 o 1 ,c s2 o 1 .s
B.运动方程
x
L
xdx
dL
f
S
d L(ud)u udu
f YSdduxYSux
x
u
udx
更长的dx，两端的 相对伸长和应力将 不同，杆受力
ffx d xfx Yx S d xu Yx S Y ux S d x u x
牛顿定律：
f (Sd)uxtt
即 utt a2uxx0
a2 Y / 为波速
1. 直接从方程出发
1.目标：建立描述物理过程的微分方程。
2.操作：物理过程由物理量的变化描述→选取物理量， 物理量的微分表示它的变化； 物理过程服从物理规则（牛顿定律，库伦定 律等） →建立微分方程。
二、几种基本的方程 1.均匀弦的微小横振动
u(x,t)
y
x xx
x
y(x,t)u(x,t)
u(xx,tt)
变 化
y ( x x ,t t) u ( x x ,t t)
E tt a 2 ( )E 0
H tt a 2 ( )H 0
5. 扩散方程
A. 扩散现象 系统的浓度 u(x) 不均匀时，将出现物质从高浓度处 到低浓度处的转移，叫扩散。
B.菲克定律
浓度梯度： u
u(x)
u(xdx)
x
扩积的散物流质强的度量：单q位时间通过单位面
dx
q D u
C. 扩散方程 连续性方程 ut x(uvx)0 quv
B.拉普拉斯假定 声传播为绝热过程：
过程方程 p p00
C.方程 s,v 小量,f=0
1
vt 0 p
st
t 0
t (v ) t 0 v 0
st
v0
p p 00 p p 0 ( ) p 0 ( 1 s ) p 0 ( 1 s ) 0
vt
1
0
p
pp0(1s)
vt
例如，在静止的介质中，介质的速度为零，并且有 压强 P 0 和密度 0 。当振动出现时，介质中各处有介 质的振动速度 v ，振动的传播速度－声速；显然， v<<声速，并且设密度的相对变化 s 为 s 0
0
欧拉方程（流体动力学方程） vt (v)v1pf
连续性方程
(v) 0
t
物态方程 pf()
带入菲克定律 u t x (u x ) v u t q x x u t x (D u x ) 0
D 均匀
u t
a2
2u x2
0
a2 D
三维 u(D u )(D u )(D u ) 0ua2()u0
t x x y y z z t
建立微分方程的两类方法
sin 1 tan 1 u xxuxx
sin2 tan2uxx x
T2T1 0
T 2uxxdx T 1uxx(d)u xtt
T 2uxxdx T 1uxx(d)u xtt
Hale Waihona Puke Tuxxdxux dx
x
utt
波动方程。
Tuxxutt0
utt a2uxx0
a2 T /
x at
t 1 x x t at
A.弦的横振动 B.无穷小的一段弦 B C.受力分析和运动方程
弦的原长 sx 现长 s' (x)2(u)2x
弦长的变化产生回到原位置的张力
u(x)
uu C
u(x)
B
1
T1
A
0
x
xx
T2 2
x
u(x)
uu C
u(x)
B
1
T1
A
0
x
xx
T2 2
x
弦长 ds (dx)2 dx
质量密度
B段的质量
m d x
E
0H t,
H 0,
E 00 E tt 0
H
0E t
( A B ) ( B ) A B ( A ) A ( B ) ( A ) B
A ,B E
( E ) ( E ) E ( ) ( E ) ( ) E ( ) E
最后得受迫振动方程
utta2uxxf(x,t)
2.均匀杆的纵振动
A.杆的弹性力学基本力学方程：胡克定律
f YS dL L
Y：杨氏模量，单位面积上的应力。
dL
杆中选 L=dx 长一段
时刻t，x 一端位移 u，x+dx 一
f 端位移 u+du。
L
杆的伸长 d L(ud)u udu
S
f YSdduxYSux
补充 连续性方程
连续分布的某种物理量，
如介质：建立座标
密度：单位容积中物理量的多少
u(x, y,z,t)
z
流强度：单位时间通过单位面积
(xd,yxd,zyd)z的该物理量（v 为流速）
dz qx
y
quv
q xdx 单位时间沿 x- 方向净流入量
dy
(x, y,z) dx
q (qxdxqx)dy dzxdxd x
z
单位时间净流入量
(xd,yxd,zyd)z
等于由密度增加的量
dz qx
y
q xdx
u dxdydz
t
dy
(x, y,z) dx
二者相等得连续性方程
x
qdxdydzudxdydz
x
t
ut x(uvx)0 表示物质的总量守恒
3.流体力学与声学方程 A.连续介质性质：
当振动在液体和气体中传播时，液体和气体就成为传 播振动的连续介质。在其中取一个小的立方体，可以 定义介质在此的密度 ρ，速度 v 和压强 P。 振动引起 密度的疏密变化。
utt
a2
1 a2
utt
0
a 波速
D.受迫振动
在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力，外力 为零。在受到与弦垂直方向的周期力的作用时，弦运 动为受迫振动。
设单位长度上弦受力 F(x,t) ，则 dx 受力
为 f(x,t)F(x,t)/。
T 2 u xx d x T 1 u xx F (x ,t)d x (d)u tx t