业班级： 2016级各专业 任课教师(必填)： 专业班级： 学号： 姓名： 项由出卷人填写]
装 订 线
题号 一 二 三 四 总 分
标准分 21
21
30 28
得分
注：请填写清楚任课教师(必填)、专业班级、学号和姓名，并在交卷时保持三页试卷装订完好。

A 一、填空、选择题 (每题3分，共21分)
1. 以曲线(,)0,:0
f y z x =⎧Γ⎨=⎩为母线，以z 轴为旋转轴的旋转曲面方程是 。

2. 设(2)(,)z f x y g x xy =−+，f 和g 均可微，则z
x ∂=∂ 。

3.
()2sin 2csc 4
d cos ,sin d f r r r r θ
θθθθπ
π⎰
⎰
在直角坐标下先y 后x 的二次积分为 。

4. 设∑为曲面222z x y =+上介于2z =及3z =之间部分的下侧，则d d x y ∑
=⎰⎰ 。

5. 曲面23z xy z e +−=在点(1,2,0)处的切平面方程为( )。

A. 230x y +−=
B. 280x y +−=
C. 240x y +−=
D. 240x y −+=
6. 若曲线积分221
L xdx aydy
x y −+−⎰在区域(){}
22,1D x y x y =+<内与路径无关，则a =( )。

A. 1 B. 1− C. 2− D. 2
7. 若级数1
n n a ∞=∑与1
n n b ∞
=∑都发散，则( )。

A.
()1
n n n a b ∞=+∑发散 B. ()1n n n a b ∞=∑必发散 C. ()1
n
n n a b ∞
=+∑发散 D.
()221
n n n a b ∞
=+∑发散
A 二、求解下列各题 (21分)
1. (6分) 设(),0F x y y z −−=确定了隐函数(),z z x y =，F 可微，求z z
x y
∂∂+∂∂。

2. (7分) 求函数()22,3f x y x xy y x =−++的极值。

3. (8分) 求通过直线1270,:20x y L x z −−=⎧⎨−=⎩并与直线2331
:321x y z L ++−==
−平行的平面方程。

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A 三、计算下列各题 (30分)
1. (6分) 计算22d L
x y s +⎰Ñ，其中L 是圆周22
2x y x +=。

2. (9分) 计算333
d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++⎰⎰Ò，其中∑为区域()2
222222,x y z a a x y z ++−≤+≤
()0a >边界的外侧。

3. (7分) 求均匀曲面()222 0z a x y a =−−>的质心。

4. (8分) 一质点在力{}
22,y x =F 的作用下沿圆22:2L x y x +=顺时针运动一周，求此过程中力F 对质点所作的功。

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A 四、求解下列各题 (28分) 1. (7分) 判定级数()21ln n
n n n
∞
=−−∑的敛散性。

若收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛。

2. (12分) 求幂级数1
13n n x n −∞
=⎛⎫
⎪
⎝⎭∑的收敛域及和函数()S x ，再将()S x 展开成2x −的幂级数。

3. (9分) 设Ω是由曲面22z x y =+及222z x y =−+所围成的区域，求Ω的体积和它的表面积。